Modèle loglinéaire = Modèle d'Ising?
Est-il vrai qu'un modèle log-linéaire hiérarchique d'ordre deux qui inclut toutes les interactions d'ordre deux entre les variables binaires X1, . Xp est un modèle d'Ising ? J'ai vu cela sur une documentation en ligne, mais le sujet n'est pas développé.
Je trouve le modèle d'Ising assez intéressant, mais un peu difficile à comprendre.
Quelqu'un peut-il me l'expliquer ?
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Bonjour. Le modèle d'Ising est le plus simple et le plus étudié des modèles statistiques des ferromagnétiques. Les variables binaires modélisent les spins sur les noeuds d'un réseau et leur interaction est représentée par une fonction de hamilton qui est la somme des produits des plus proches voisins. Le modèle peut être étudié par les méthodes du champ moyen ou du groupe de renormalisation, mais dans deux cas des solutions exactes sont connues: le cas à une dimension et le cas à deux dimensions (sans champ externe pour ce dernier; sa découverte par Onsager a été considérée à l'époque comme un tour de force mathématique inattendu). Solution exacte signifie qu'on possède une expression analytique exacte pour la fonction de partition, à partir de laquelle on peut calculer toutes les fonctions thermodynamiques par les méthodes standard de la physique statistique. L'intérêt de ce modèle est qu'il permet d'étudier avec précision la transition de phase par diverses méthodes et de comparer ces résultats avec la solution exacte connue.
Je renvoie à Wikipedia pour les détails.
En ce qui concerne l'équivalence avec le modèle log-linéaire, je ne sais pas. Il faudrait comparer les maths.
Mais le modèle d'Ising est aussi intéressant justement car il est capable de représenter des situations très différentes, dont il révèle une équivalence difficile à deviner. Par exemple le modèle d'Ising à 3 dimensions au voisinage du point critique s'avère un bon modèle des liquides simples, si on en considère la version discrétisée. Il modélise également des alliages binaires: au lieu de la magnétisation dans une direction ou une autre, ses variables représentent deux espèces différentes d'atomes. Il se fait que le modèle d'Ising, dans les régimes proches de la transition de phase, atteint un certain niveau d'universalité: ses propriétés se retrouvent dans de nombreux cas physiques a priori sans rapport entre eux.
Ce sujet fascinant à la fois pour la physique et pour les mathématiques est malheureusement difficile à expliquer. A ma connaissance, cela ne fait d'ailleurs l'objet d'aucune tentative de vulgarisation. Pour se faire une idée, on peut lire la "leçon Nobel" de Kenneth Wilson, qui a reçu le prix en 1982 pour ses travaux sur le groupe de renormalisation: https://www.nobelprize.org/uploads/2...-lecture-2.pdf . Il situe le modèle d'Ising dans le contexte plus général.
