Racines d'un polynome

[annamillie]

Combien de racines réelles (comptées avec leur multiplicité) un polynôme unitaire P∈R[x] de degré 5 et vérifiant P(1)=−3, P(2)=2, P(3)=−4, P(4)=1 et P(5)=−5 peut-il avoir ?

Si qqn aurait une piste svp ...
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[ThM55]

Il y en a déjà au moins 4 par continuité du fait des changements de signe. Donc il y a une cinquième car si celle-ci n'était pas réelle, sa conjuguée complexe serait aussi une racine distincte et on en aurait 6, ce qui est impossible. Mon raisonnement me semble correct mais il n'est pas impossible que je me trompe. A vérifier donc.

[ThM55]

Dans mon raisonnement j'ai implicitement fait usage du théorème fondamental de l'algèbre: ce polynôme de degré 5 doit avoir 5 racines complexes. Comme il est à coefficients réels, si une racine est non réelle (avec partie imaginaire non nulle), sa conjuguée est aussi racine. Quand le polynôme change de signe, il doit y avoir au moins une racine simple réelle entre les deux points où il prend des valeurs de signes opposés. Cela vient du fait que la fonction est continue et du théorème des valeurs intermédiaires (mais je suppose que les algébristes peuvent avancer des arguments -que je ne connais pas - ne faisant pas appel à la continuité? Appel du pied, je suis curieux).