Racines d'un polynôme

[invite61a8211d]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exo

Étant donné l'équation somme de i allant de 0 à n des a(i)x^i=0 (le i dans a(i) est en indice)

Montrer que cette équation a au moins deux solutions si n est pair et si ana0 est négatif

J'ai d'abord montré que cette fonction tend vers -oo en +oo et en -oo OU qu'elle tend vers +oo en +oo et en -oo.

Du coup il faut montrer que ce polynôme admet une racine positive et une racine négative pour conclure avec le TVI. Mais je ne sais pas comment faire. Merci
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[albanxiii]

Bonjour,

En partant de ce que vous avez fait, vous pouvez ensuite évaluer le polynôme en un point où trouver son signe est facile et en déduire ainsi qu'il a une racine réelle.
Ensuite, pour la deuxième racine le théorème fondamental de l'algèbre peut vous aider.
Et pour les signes, pensez aux relations entre les coefficients et les racines.

[invite61a8211d]

Si on divise les 2 membres de l'équation par a(n) et qu'on évalue le membre de gauche en 0 on trouve a0/an qui est négatif.
Je n'ai pas encore vu ce théorème en cours, mais j'ai jeté un petit coup d'oeil sur wikipedia. Le problème est que le théorème affirme que tout polynôme à coefficient réel admet une racine complexe. Mais ici, on est dans les reels donc jsp.comment faire

[invite61a8211d]

Svp je trouve pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Quel valeur a ton polynôme en x=0 ?

[gg0]

Théorème des valeurs intermédiaires : Si une fonction continue (*) prend, sur un inrervalle I, des valeurs positives et des valeurs négatives, il s'annule (au moins une fois).

Cordialement.

(*) par exemple un polynôme

[invite61a8211d]

Tryss 2 : En 0 j'ai dit ça vaut a0/an qui est négatif, mais j'arrive pas à trouver un nombre dont l'image est positif

[invite61a8211d]

Je peine à trouver l'image posititve

[Médiat]

Montrer que cette équation a au moins deux solutions si n est pair et si ana0 est négatif

A noter que cet énoncé est faux, ou, a minima, maladroit si on veut être gentil.

[gg0]

Quelles sont les limites de ton polynôme (après division par an) en +oo et -oo ? Conséquences ...

[invite61a8211d]

C'est +oo en -oo et en +oo donc il suffit juste d'avoir l'image négative. Merci bcp du coup c'est bon

[Médiat]

J'aimerais bien voir la rédaction ...

[invite61a8211d]

Snapchat-167082098.jpg


Voilà la rédaction, mais je ne comprends pas pourquoi c'est faux l'énoncé. Peut être parce que j'ai oublié de dire que an est non nul

[Médiat]

Votre rédaction ne correspond pas à l'énoncé du message #1

Je ne fais pas durer le suspens : dans l'énoncé il est écrit "négatif" et vous le rédigez comme si c'était "strictement négatif"

[invite61a8211d]

Ah c'etait stictement négatif, mais ça change rien si a0 est nul car on a P(0)=0 dans ce cas

[Médiat]

Et comment démontrez vous alors qu'il y a 2 racines (et non une racine double) ?

[invite61a8211d]

On peut factoriser par x et on obtient x × un polynôme de degré impair. Et je l'ai pas mis mais la première question de mon exercice était de montrer que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine. Merci de vos interventions en tout cas

[invite61a8211d]

Le problème c'est que si a1 est nul y'a un soucis

[Médiat]

il suffit de prendre P(x) = x² pour avoir un contrexemple

[invite61a8211d]

Oui, il doit manquer a0 non nul dans l'enonce