Trouver des réels dans r à partir d'un triplé

[Trollope]

Soit le triplé (x1, x2, x3) ∈ R . Peut-on trouver des réels (d1, d2, d3) tels que (x1, x2, x3) =
d1 (1, 2, 1) + d2 (2, 5, 3) + d3 (1, 4, 3) ?
Respectueusement,
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[JPL]

Lis EXERCICES et FORUM et fais ce qui y est demandé.

[Trollope]

C'est gentil mais ça n'aide pas beaucoup comme réponse.
Ayant posé le système:
d1 + 2d2 + d3 = x1 (1)
2d1 + 5d2 + 4d3 = x2 (2)
d1 + 3d2 + 3d3 = x3 (3)
Additionnons x1 et x3:
d1+2d2+d3+d1+3d2+3d3=
2d1+5d2+4d3=x2
D'où x1+x3=x2
Le sens à donner à la suite de la question reste obscur
"Préciser s'il n'existe aucune, une ou une in􏰁finité de solutions. (Il n'est pas obligatoire de préciser les solutions si elles existent.)"

[gg0]

Bonjour.

Tu viens de montrer que si le système a une solution (d1,d2,d3) (*), alors x1+x3=x2.
Supposons que x1=2, x2=2 et x3=5. Le système a-t-il une solution ?

Dans quels cas le système a-t-il une solution ? Dans ces cas, peut-on avoir d1=0 ? peut-on avoir d1 = 2 ? peut-on avoir une solution chaque fois qu'on choisit une valeur pour d1 ?

Cordialement.

NB : Si tu as un cours général sur les systèmes linéaires, tu as les outils dans ton cours. Mais faire ces réflexions n'est pas de trop. Si tu n'as pas de cours, et qu'il s'agit d'un exercice introductif, c'est vraiment les réflexions à avoir.
(*) faire l'hypothèse d'existence de solutions est une pratique courante de la résolution d'équations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Trollope]

Merci gg0!
En testant le système avec x1=2, x2=2, x3=5 (ci-dessous)on a un résultat incohérent. Est ce normal(?)
d1+2d2+d3=2
2d1+5d2+4d3=2
d1+3d2+3d3=5
d1+2d2+d3+d1+3d2+3d3=
2d1+5d2+4d3=
7=2??


d1=2-d3-2d2
2(2-d3-2d2)+5d2+4d3=2
4-2d3-4d2+5d2+4d3=2
d2+2d3+4=2
d2=-2d3-2
d1=2-d3-2(-2d3-2)
d1=2-d3-(-4d3-4)
d1=2-d3+4d3+4
d1=6+3d3
6+3d3+3(-2d3-2)+3d3=5
6+3d3-6d3-6+3d3=5
0=5??

[gg0]

Non, il n'y a rien d'incohérent.

"si le système a une solution (d1,d2,d3)" on en déduit 7=2
Aucune incohérence !

Tu n'as jamais rencontré des suppositions fausses ?

[Trollope]

Merci gg0, c'est déstabilisant et effectivement la première fois. Merci pour ces bons conseils.

[gg0]

En fait,

on rencontre ça dès qu'on réfléchit un peu à la résolution d'équations du second degré. Comment sait-on qu'il n'y a pas de solution ? Par exemple pour x²+2x+4 = 0. Bien sûr, il y a l'autorité du prof, mais comment le sait-il lui-même ? Il y a la formule magique "si ...", mais pourquoi marche-t-elle ? En général les profs l'expliquent.
Pour x²+2x+4 = 0, s'il y a une solution, elle vérifie successivement :
x²+2x+1 +3 = 0
(x+1)² = -3
Ce qui est impossible. Comme la supposition d'existence de solution aboutit à du faux, elle ne peut pas être vraie : Il n'y a pas de solution.
Même chose en plus général dans le cas général.

Cordialement.