Racines de polynome
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Racines de polynome



  1. #1
    Vishnu

    Racines de polynome


    ------

    Bonjour a tous,

    Sachant que b divise a et c divise a; a quelle condition nécessaire et suffisante peut-on écrire que bc divise a ?

    Spontanément, je dirais qu'il faut que b et c soient tous les deux premiers. En effet, comme a peut toujours s'écrire comme produits de nombres premiers, si les diviseurs sont eux aussi des nombres premiers, ca marche.
    Mais, je vois que cette condition n'est pas nécessaire. En effet, sachant que 43560=2^3*3^2*5*11^2 , on observe que 8 divise 43560 (alors que pas 16) bien qu'il ne soit pas premier.

    Merci, (et désolé si ce que je dis n'est pas clair)

    -----

  2. #2
    Forhaia

    Re : Racines de polynome

    Bonjour,

    une condition suffisante, c'est que b et c soient premiers entre eux.

    (mais ce n'est pas nécessaire, par exemple a=4,b=c=2)

  3. #3
    Thorin

    Re : Racines de polynome

    Il faut et il suffit que PGCD(b,c)*PPCM(b,c) divise a
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #4
    Vishnu

    Re : Racines de polynome

    Cool merci,

    Et une petite démonstration plz ^^?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    morph

    Re : Racines de polynome

    Si je me rappelle bien, on a l'égalité :



    Alors bien sûr on a :



    mais bon ...

  7. #6
    Forhaia

    Re : Racines de polynome

    Oui c'est ça, c'était juste une blague de Thorin.

    Pour ce que j'ai affirmé, cela repose sur le théorème de Gauss.

    On suppose que b et c sont premiers entre eux et divisent a.

    Il existe alors d entier tel que a=cd.
    On a alors b qui divise cd avec b premier avec c donc d'après le théorème de Gauss, b divise d, soit d=be avec e entier.

    Finalement, a=bce avec e entier,
    donc bc divise a.

  8. #7
    Vishnu

    Re : Racines de polynome

    merci beaucoup.

    Juste une dernière question pour la route.
    La notion de racine n'a de sens que pour une fonction polynomiale, et pas pour un polynôme, c'est ca?

  9. #8
    RoBeRTo-BeNDeR

    Re : Racines de polynome

    Citation Envoyé par Vishnu Voir le message
    La notion de racine n'a de sens que pour une fonction polynomiale, et pas pour un polynôme, c'est ca?
    Je ne pense pas, pour une fonction polynomiale la notion de racine coïncide avec la notion de zéros de fonction, comme les 0 de ln sur lR sont seulement 1 car ln(1)=0.

    Les racines sont complètement définie pour un polynôme, et qu'on me reprenne si je dis une bêtise, mais la connaissance des racines d'un polynômes permettent de le factoriser sur l'ensemble des polynômes.
    Par exemple: X²-1=(X+1)(X-1)

    RoBeRTo

  10. #9
    Thorin

    Re : Racines de polynome

    Comme RoBeRTo-BeNDeR le dit, on peut définir une racine comme étant un objet tel que (X-racine) divise le polynôme initial.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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