Racines de polynome

[invitefe5c9de5]

Bonjour a tous,

Sachant que b divise a et c divise a; a quelle condition nécessaire et suffisante peut-on écrire que bc divise a ?

Spontanément, je dirais qu'il faut que b et c soient tous les deux premiers. En effet, comme a peut toujours s'écrire comme produits de nombres premiers, si les diviseurs sont eux aussi des nombres premiers, ca marche.
Mais, je vois que cette condition n'est pas nécessaire. En effet, sachant que 43560=2^3*3^2*5*11^2 , on observe que 8 divise 43560 (alors que pas 16) bien qu'il ne soit pas premier.

Merci, (et désolé si ce que je dis n'est pas clair)
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[invite8a80e525]

Bonjour,

une condition suffisante, c'est que b et c soient premiers entre eux.

(mais ce n'est pas nécessaire, par exemple a=4,b=c=2)

[invitec317278e]

Il faut et il suffit que PGCD(b,c)*PPCM(b,c) divise a

[invitefe5c9de5]

Cool merci,

Et une petite démonstration plz ^^?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5a750395]

Si je me rappelle bien, on a l'égalité :



Alors bien sûr on a :



mais bon ...

[invite8a80e525]

Oui c'est ça, c'était juste une blague de Thorin.

Pour ce que j'ai affirmé, cela repose sur le théorème de Gauss.

On suppose que b et c sont premiers entre eux et divisent a.

Il existe alors d entier tel que a=cd.
On a alors b qui divise cd avec b premier avec c donc d'après le théorème de Gauss, b divise d, soit d=be avec e entier.

Finalement, a=bce avec e entier,
donc bc divise a.

[invitefe5c9de5]

merci beaucoup.

Juste une dernière question pour la route.
La notion de racine n'a de sens que pour une fonction polynomiale, et pas pour un polynôme, c'est ca?

[RoBeRTo-BeNDeR]

La notion de racine n'a de sens que pour une fonction polynomiale, et pas pour un polynôme, c'est ca?

Je ne pense pas, pour une fonction polynomiale la notion de racine coïncide avec la notion de zéros de fonction, comme les 0 de ln sur lR sont seulement 1 car ln(1)=0.

Les racines sont complètement définie pour un polynôme, et qu'on me reprenne si je dis une bêtise, mais la connaissance des racines d'un polynômes permettent de le factoriser sur l'ensemble des polynômes.
Par exemple: X²-1=(X+1)(X-1)

RoBeRTo

[invitec317278e]

Comme RoBeRTo-BeNDeR le dit, on peut définir une racine comme étant un objet tel que (X-racine) divise le polynôme initial.