Bonjour,
j'ai un problème avec un exercice : il faut montrer que dans un anneau local A, les seuls idempotents sont 0 et 1.
Je prends e un idempotent. L'ideal (e) est soit A, soit inclus dans le seul ideal maximal M. Dans le premier cas, e est inversible, et comme e.e=e, on conclue e=1. Mais je ne vois pas comment je peux conclure e=0 dans l'autre cas.
Merci pour votre aide.
Bonjour,
Moi, jutiliserais le fait que dans un anneau local, sialors
On peut d'ailleurs voir qu'un anneau commutatif est local si et seulement s'il vérifie :
1)
2)
Merci pour l'indication, mais j'ai essayé un bon moment d'utiliser cette propriété sans arriver à résoudre l'exo...Je suppose qu'il faut exploiter le fait que e est idempotent sous la forme équivalente e(1-e)=0, mais ne n'arrive pas à conclure en utilisant ça.
Pourriez vous me donner une indication supplémentaire ?
Ok j'y suis : On a e+(1-e)=1, donc e inversible ou 1-e inversible. Dans le premier cas, e=1 car e²=e. Dans le second cas, 1-e=u inversible, e=1-u, e=e²=1-2u+u², 1-u=1-2u+u², u²=u, donc u=1, et e=0.
Voila, c'est ça.
