Integrale L1 et L2

[leratpeur]

Bonjour,

pourquoi :



merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Il n'y a qu'à essayer de vérifier que l'intégrale de la fonction converge, et que celle du carré, non.
Indication : regarder ce qui se passe en 0.

Cordialement.

[leratpeur]

en 0 pour L1 ça tend vers +00.... "1/0"

[leratpeur]

et je vois encore moins pourquoi ça diverge en L2...

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

La limite de la fonction en 0 n'a rien à voir. Vous n'avez pas un théorème quelque part qui parle de la convergence des intégrales de la forme ?

[gg0]

est une intégrale (généralisée) convergente.
est une intégrale (généralisée) divergente.

Dans les deux cas, pas de problème à l'infini, mais la différence se fait en 0 où la fonction à intégrer n'est d'ailleurs pas définie, et dans les deux cas, a une limite infinie (revois les cours sur les intégrales généralisées).

Cordialement.

[leratpeur]

entre -00 et 0 on a a=1/2<1 donc ça diverge je crois ?

[gg0]

Je ne comprends pas ce que tu racontes, l'intégrale est une intégrale généralisée qui n'a aucun problème "entre -oo et 0", mais dont on doit justifier la convergence en -oo, 0-, 0+ et +oo. L'intégrande étant une fonction paire, on justifie en 0+ et +oo. Au voisinage de +oo, on peut majorer par exp(-x), par exemple, donc il y a convergence. Au voisinage de 0,
et cette fraction a une primitive qui a une limite en 0, et donc l'intégrale converge.

Par contre, pour x>0,

qui converge en +oo, mais au voisinage de 0,

dont l'intégrale diverge en 0 (une primitive est ln(x)).

Cordialement.

NB : Une participation aux calculs de ta part serait un peu plus polie qu'une phrase lapidaire. Si tu veux être aidé, agis utilement.

[leratpeur]

De plus, je vois pas pourquoi cette intégrale est L2 intégrable :



Je sais qu'on doit se ramener à cos'(0)=sin(0) mais le carrée me dérange...

[gg0]

Je t'ai fait le travail pour le premier sujet. Ici, des règles que tu as pu voir en terminale C permettent de prolonger par continuité en 0, et donc il n'y a de problèmes qu'en l'infini. Donc tu n'as qu'à traiter la convergence en +oo.
Tu appliques la définition de L²-intégrable, tu majores |1-cos x| par 2 et tu as ton résultat.
A toi de faire. Si tu bloques, présentes tes calculs (y compris ce dont j'ai parlé).