Espaces L^p.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Dans un cours que j'ai trouvé sur le net, il est écrit la chose suivante,

Nous supposerons que le lecteur est familier avec les espaces de Lebesgue , avec, , qui sont définis comme l'ensemble des fonctions mesurables , telles que, , avec les modifications d’usage lorsque, . Cette quantité est une norme et les espaces sont des espaces de Banach. Parmi les propriétés fondamentales de ces espaces, nous avons :
- Pour , nous avons la relation de dualité, avec, , ce qui nous permet de réécrire la norme de la façon suivante, .

Questions,,

- S'il vous plaît, comment obtient-t-on la formule à partir de la formule, ? En d'autres termes, d'où sort la formule, ?

Merci d'avance.
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[MissJenny]

Ca vient de la dualité. A chaque fonction mesurable phi de Lp est associée une forme linéaire sur Lp' à l'aide de la formule intégrale que tu cites. Et la norme de cette forme linéaire est égale à la norme de phi. Je suppose que tu sais comment on calcule la norme d'une forme linéaire (norme associée à la norme de l'espace sur lequel la forme est définie).

[MissJenny]

tiens le nom m'est revenu, ce n'est pas "norme associée" mais "norme subordonnéee". Et attention ce que j'ai écrit au-dessus n'est pas une démonstration, il faut au contraire commencer par montrer qu'on a bien une forme linéaire, en d'autres termes que l'intégrale est finie.

[Anonyme007]

Merci MissJenny. Je pense avoir compris un petit peu.
On considère, , avec, , la forme linéaire, , alors, la norme subordonnée de est, : , d'où, montrer que, revient à montrer que, , mais pourquoi, ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]