Espaces L^p.

**Anonyme007** · 07/12/2022, 22h55

Bonsoir,

Dans un cours que j'ai trouvé sur le net, il est écrit la chose suivante,

Nous supposerons que le lecteur est familier avec les espaces de Lebesgue $L^p ( \mathbb{R}^n )$ , avec, $1 \leq p \leq + \infty$ , qui sont définis comme l'ensemble des fonctions mesurables $\varphi \ : \ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , telles que, $|| \varphi ||_{ L^{p} } = \big( \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } | \varphi (x) |^p \big)^{ \dfrac{1}{p} } < + \infty$ , avec les modifications d’usage lorsque, $p = + \infty$ . Cette quantité est une norme et les espaces $( L^p , || \cdot ||_{ L^{p} } )$ sont des espaces de Banach. Parmi les propriétés fondamentales de ces espaces, nous avons :
- Pour $1 \leq p < + \infty$ , nous avons la relation de dualité, $(L^p )' = L^{p'}$ avec, $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p'} = 1$ , ce qui nous permet de réécrire la norme $|| \cdot ||_{L^{p}}$ de la façon suivante, $|| \varphi ||_{ L^{p} } = \sup_{ ||\phi ||_{ L^{p'} } \leq 1 } \| \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } \varphi (x) \phi (x) dx \|$ .

Questions,,

- S'il vous plaît, comment obtient-t-on la formule $|| \varphi ||_{ L^{p} } = \sup_{ ||\phi ||_{ L^{p'} } \leq 1 } \| \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } \varphi (x) \phi (x) dx \|$ à partir de la formule, $|| \varphi ||_{ L^{p} } = \big( \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } | \varphi (x) |^p \big)^{ \dfrac{1}{p} } < + \infty$ ? En d'autres termes, d'où sort la formule, $|| \varphi ||_{ L^{p} } = \sup_{ ||\phi ||_{ L^{p'} } \leq 1 } \| \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } \varphi (x) \phi (x) dx \|$ ?

Merci d'avance.

**MissJenny** · 07/12/2022, 23h30

Ca vient de la dualité. A chaque fonction mesurable phi de Lp est associée une forme linéaire sur Lp' à l'aide de la formule intégrale que tu cites. Et la norme de cette forme linéaire est égale à la norme de phi. Je suppose que tu sais comment on calcule la norme d'une forme linéaire (norme associée à la norme de l'espace sur lequel la forme est définie).

**MissJenny** · 08/12/2022, 09h05

tiens le nom m'est revenu, ce n'est pas "norme associée" mais "norme subordonnéee". Et attention ce que j'ai écrit au-dessus n'est pas une démonstration, il faut au contraire commencer par montrer qu'on a bien une forme linéaire, en d'autres termes que l'intégrale est finie.

**Anonyme007** · 08/12/2022, 20h38

Merci MissJenny. Je pense avoir compris un petit peu.
On considère, $\forall \varphi \in L^{p} ( \mathbb{R}^n )$ , $\forall \phi \in L^{p'} ( \mathbb{R}^n )$ avec, $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p'} = 1$ , la forme linéaire, $\langle \varphi , \ \cdot \ \rangle \ : \ \phi \to \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } \varphi (x) \phi (x) dx$ , alors, la norme subordonnée de $\langle \varphi , \ \cdot \ \rangle$ est, : $||| \langle \varphi , \ \cdot \ \rangle ||| = \sup_{ ||\phi ||_{ L^{p'} } \leq 1 } \| \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } \varphi (x) \phi (x) dx \|$ , d'où, montrer que, $|| \varphi ||_{ L^{p} } = \sup_{ ||\phi ||_{ L^{p'} } \leq 1 } \| \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^{n} } \varphi (x) \phi (x) dx \|$ revient à montrer que, $|| \varphi ||_{ L^{p} } = ||| \langle \varphi , \ \cdot \ \rangle |||$ , mais pourquoi, $|| \varphi ||_{ L^{p} } = ||| \langle \varphi , \ \cdot \ \rangle |||$ ?

Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

Espaces L^p.

Espaces L^p.

Re : Espaces L^p.

Re : Espaces L^p.

Re : Espaces L^p.

Discussions similaires

espace compact -connexe sans comprendre l espace topologique & métrque?

Mécanique, espace affine, espace vectoriel

Espace sur C : Différence entre taille des dossiers et espace libre.

Espace de Poincaré, de Seifert-Weber & espace réel projectif ?

Base d'espace, degré de liberté et espace de fonctions