Groupe de Galois - factorisation modulo p

[pachacamac]

Bonjour,

Je viens de visionner l'excellente conférence d' Alain Connes sur " Evariste Galois et la théorie de l’ambiguïté"
Après une rappel historique de la vie de Galois et ses relations avec les autres mathématiciens Cauchy Poisson Liouville et l'institution mathématique il aborde l'aspect mathématique de son œuvre à partir de 27'52 ".

J ' ai pas trop compris comment on procède à une " indexation des racines du polynôme par le corps F5 des entiers modulo 5."

Puis il procède à une factorisation modulo P d'un polynôme
je pense qu'il part de l'équation : 1 + 3x -3x^2 -4x^3 +x^4+ x^5 = 0
et obtient



Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment il a procédé pour obtenir ce résultat ou encore mieux de m'expliquer les calculs effectués (ou du moins leur principe et/ou lignes directrice) entre 38 minutes et 45 mn de la vidéo ce serait le Pérou.

Merci d'avance pour tout éclairage.
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[MissJenny]

bonjour,

pour les lignes "non factorisées" il a juste réduit les coefficients du polynôme modulo le nombre premier indiqué en début de ligne. Mais ça ne dit pas comment il factorise. Peut-etre tout simplement en essayant toutes les racines possibles. Puisqu'on est dans un corps fini il suffit de calculer la valeur du polynôme pour tous les nombres l'un après l'autre (en fait jusqu'à ce qu'on ait trouvé cinq racines)

[pachacamac]

Merci MissJenny pour ta réponse mais je ne comprend pas ce que veut dire "réduire les coefficients du polynôme modulo le nombre premier indiqué en début de ligne."
Je remarque simplement que pour les lignes non factorisées, il y a toujours le 1 , les x puissance 4 et 5 restent aussi identiques, le terme 3x change presque pas sauf dans les premières lignes et donc seul changent les x au carré et au cube avec une logique que je comprend pas.

Aussi c'est parce que la puissance maximale de x est 5 qu'il y a cinq racines ?
Si on a une puissance n dans un polynôme à une variable x il aura n racines ?

J'avais oublié de mettre le lien vers la vidéo : c'est ici =>https://alainconnes.org/fr/2011/11/e...de-lambiguite/

[MissJenny]

Par exemple modulo 7, -3 = +4 donc le terme -3x^2 est réécrit 4x^2

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Aussi c'est parce que la puissance maximale de x est 5 qu'il y a cinq racines ?
Si on a une puissance n dans un polynôme à une variable x il aura n racines ?

Oui. c'est ce qu'on appelle le "théorème fondamental de l'algèbre" ou encore "théorème de d'Alembert" https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...27alg%C3%A8bre

mais pas forcément des racines toutes distinctes ou toutes réelles. Exemples :

x² + 1 = 0 : 2 racines complexes i et -i.

(x-1)²(x-2) = 0 : 3 racines certes, mais 1 est racine double.

[pachacamac]

@MissJenny; J'ai vérifié que la formule fonctionne bien pour toutes les puissances seconde et cubique de x, par contre pour le terme en 3 x il l'applique aux deux premières lignes malgré un signe + à la place d'un signe - et ensuite laisse le + 3x comme tel ainsi que les puissances quatrième et cinquième de x. ( peut être pour ne pas obtenir des valeurs négatives de x ?? mais ce serait bizarre )

Aussi pourquoi Alain Connes dit qu'il effectue une indexation des racines du polynôme par le corps F5 des entiers modulo 5."
Que vient faire ici le modulo 5 ?

Sinon une question plus fondamentale et difficile : En trouvant comment faire, il reste la question du sens ou de l'utilité de ce calcul.

Les changements effectués modifient le polynôme original et donc je suppose aussi ces racines, de plus contrairement à " d'habitude" on simplifie pas le polynôme mais on le complexifie...
Donc à quoi sert cette indexation ?
Et pourquoi on fait cela avec les nombres premiers et ne pourrait t'on pas le faire avec une suite de nombre d'entiers quelconques ?
Mystères et boules de gomme

@jacknicklaus : je suis content que ma petite question m'a fait découvrir le théorème fondamental de l'algèbre. Merci

Note j'ai lu ( peut être un peu rapidement) la page wikipedia sur ce théorème j'y ai vu que :

tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1.

Mais je n'ai pas trouvé de passage qui dit explicitement qu'un polynôme de degré n possède obligatoirement n racines..

[Deedee81]

Salut,

Mais je n'ai pas trouvé de passage qui dit explicitement qu'un polynôme de degré n possède obligatoirement n racines..

S'il est produit de polynômes de degré 1 alors il a forcément n racines (éventuellement multiples).

[gg0]

Bonjour.

Dans sa conférence, Alain Connes suppose connus de ses auditeurs, un certain nombre de notions qu'on étudie dans les deux premières années d'études scientifiques après le bac (L1/L2, prépas, écoles d'ingénieurs,...). Par exemple la théorie des polynômes (qu'on voyait au siècle dernier en première et terminale) qui justifie qu'un polynôme non nul de degré n a exactement n racines (*) dans le corps C, ou encore le groupes des entiers modulo n, qui, pour n premier, peuvent être munis d'une structure de corps (**).
Et comme il ne fait pas un cours, il passe rapidement sur les preuves de ses affirmations. J'avoue que je ne comprends pas tout sur ce qu'il dit aux environs de 29', puisqu'il parle de ce qu'on conclut de l'étude du groupe de Galois que je n'ai pas.

Quant à la suite de polynômes obtenus par réduction, il faudrait savoir quel est le polynôme de départ, qui n'est pas donné. Il y a une infinité de polynômes possibles, conséquence du "théorème chinois". S'il n'est pas donné dans la conférence, on ne saura pas !

Cordialement.

(*) Le théorème de D'Alembert dit qu'il en a au moins une. Donc le polynôme P est divisible par x-a où a est la racine, donc P(x)=(x-a)Q(x) où Q est donc de degré n-1. Si n-1 n'est pas nul, on recommence jusqu'à épuisement des racines, et au bout de n fois, on a un polynôme de degré n-n=0 (donc constant) et trouvé exactement n racines.
(**) Le corps des entiers modulo 5 est l'ensemble {0,1,2,3,4} des restes positifs modulo 5 des entiers (17 = 3*5+2, reste 2; -26 = (-6)*6+4, reste 4) muni de l'addition modulo 5 (3+4 = 7 = 1*5+2, donc 3+4 = 2) et de la multiplication modulo 5 (

[jacknicklaus]

Le polynôme de départ est bien 1 + 3x - 3x^2 - 4x^3 + x4 + x^5

comme le dit MissJenny, on travaille modulo p, il normalise chaque coefficient en ajoutant p aux coefficients négatifs.
et il teste simplement toutes les racines possible (soit : 0,1,... p-1)

si il y a une racine q, il effectue le quotient du polynôme par (X - q) qui normalisé positif devient (X - q + p)


exemple :
dans le cas p = 11, le polynôme 1 + 3x - 3x^2 - 4x^3 + x4 + x^5 normalisé devient x^5 + x^4 + 7x^3 +8x^2 + 3x + 1
Il vaut 0 modulo 11 pour x = 2 (ou -9 c'est pareil)
donc il est divisible par (X+9)
donc on peut effectuer une division euclidienne par (x + 9) qui donne
x^5 + x^4 + 7x^3 +8x^2 + 3x + 1 = (x+9)(x^4 + 3x^3 + 1x^2 +x +5)
et on recommence avec x^4 + 3x^3 + 1x^2 +x +5 : on cherche des racines modulo 11 de ce polynome. On trouve à nouveau x = 2 = -9 racine.
on redivise par (x+9)

etc etc...

[jacknicklaus]

x^5 + x^4 + 7x^3 +8x^2 + 3x + 1 = (x+9)(x^4 + 3x^3 + 1x^2 +x +5)

Oups ! petite coquille en relisant (mal) mes notes. Il faut lire :

x^5 + x^4 + 7x^3 +8x^2 + 3x + 1 = (x+9)(x^4 + 3x^3 + 2x^2 +x +5)

[pachacamac]

Merci beaucoup à vous deux pour ces beaux cours sur les polynômes.

Je me sens paré pour revisionner la suite de la vidéo d' Alain.
On n'est pas encore arrivé aux groupes de Galois et le premier visionnage m'a montré qu'après ça se complique encore plus..

[pachacamac]

J'ai visionné la suite jusqu'à 45' 47'' j'ai tout compris notamment les bases sur les groupes de Galois

Puis à ce moment, retour des polynômes qui nous amène directement aux équations non résolubles par radicaux.
Quelques lumières sur ces équations non non résolubles par radicaux seraient bienvenues.

Merci

[pachacamac]

Bonjour,

J'annule ma demande de lumière concernant les équations non résolubles par radicaux. Abel et Evariste m'ont répondu via wikipédia par l'intermédiaire de leur théorème.

Théorème d'Abel — Il est impossible de résoudre par des radicaux l'équation générale du cinquième degré.

Théorème de Galois — Une équation polynomiale à coefficients dans K est résoluble par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est résoluble.

Soient K un corps et L une extension de K. Un élément de L est dit radical sur K si l'une de ses puissances appartient à K.

Merci