Dérivées partielles et totale

[Lilg]

Bonsoir, j'espère que vous allez bien,
Je suis perdue concernant un exercice ;
J'ai une fonction g qui dépend de deux variables : 6cos(kx(t))-5sin(wt) avec x(t)=t^2
Dans la correction, on a : ∂g/∂x= -6ksin(kx(t))-0, sauf que je ne comprends pas la présence du 0, puisque si je fais croitre x de ∂x, qui lui-meme dépend uniquement de t, t doit forcément croitre. Ce qui fait que d'après mon raisonnement, ∂(-5sin(wt))/∂x ne peut pas etre nul.
Dernière question, on a la formule d'une dérivée totale df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂t), dans le cas ou x dépend de t. Quelqu'un aurait il l'amabilité de m'expliquer cette formule ? Je tente de comprendre le raisonnement derrière. Merci d'avance et bonne soirée.
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[gg0]

Bonjour.

L'usage d'une dérivée partielle signifie qu'on ne considère que la variable par rapport à laquelle on dérive. Donc ici, le t est considéré comme une constante.

En fait, il n'y a pas besoin ici de dérivées partielles, puisqu'on a seulement une fonction de t; la formule (f(g(t))'=g'(t)f'(g(t)) qui s'écrit aussi d(f(g(t))/dt)=df(x)/dx*dx/dt en posant x=g(t) s'applique sans problème. f(t) = 6cos(kx(t))-5sin(wt) donc f'(t)=6 kx'(t) (-cos(x(t))) - 5 w cos(wt); comme on le fait au lycée.
La formule que tu cites complique le calcul, sauf si on a déjà une fonction de deux variables x et t dont on connaît les dérivées partielles, et qu'on décide que finalement, x est une fonction de t. C'est la dérivée habituelle où on sépare artificiellement ce qui vient de x et ce qui n'en vient pas. Le cas instructif est avec f(x,t)=xt. Les différentielles sont x (par rapport à t) et t (par rapport à x). Pour g(t)=f(x(t),t) = x(t)t on obtient (la dérivée de t étant 1) g'(t)=x+tx'(t), dérivée du produit !!
Il n'y a donc pas vraiment de "raisonnement derrière", seulement une écriture bien compliquée pour un calcul courant.

Cordialement.

[Lilg]

Merci beaucoup, je vais bien réfléchir à tout cela!!

[Lilg]

L'usage d'une dérivée partielle signifie qu'on ne considère que la variable par rapport à laquelle on dérive. Donc ici, le t est considéré comme une constante.

Ceci dit, je ne suis toujours pas convaincue pour cette partie, je ne comprends pas en quoi mon raisonnement est incorrect. Je m'en excuse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Désolé, mais il n'y a pas à être convaincu, c'est la définition de la dérivée partielle. C'est d'ailleurs purement formel, purement calculatoire.
Et tu as intérêt à ne pas mélanger les fonctions :
"J'ai une fonction g qui dépend de deux variables : 6cos(kx(t))-5sin(wt) avec x(t)=t^2"
Qui est g ? La fonction g: (x,t) --> 6cos(kx)-5sin(wt); puis on définit une nouvelle fonction h en posant x=t^2 : h(t)=6cos(k t²)-5sin(wt) ? Ou bien la fonction définie par g(t)=6cos(kx(t))-5sin(wt) qui n'a qu'une seule variable, t ?
la formule de ton cours s'applique au premier cas, à une fonction à deux variables. La deuxième n'a pas de dérivées partielles.

Cordialement.

[Lilg]

Je vois, merci beaucoup et désolée pour la gêne occasionnée. Bonne journée !

[Anonyme007]

Bonjour,

Je me permets de vous livrer mon point de vue,

La formule suivante,

df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂t), dans le cas ou x dépend de t.

est valable, si, se met sous la forme, , avec, .
En effet,
( Voir ici, https://www.math.univ-toulouse.fr/~j...S/L2PS-Ch6.pdf , page : ).
Ensuite, tu appliques cette formule à ta fonction, pour obtenir la réponse à ton problème.

[gg0]

Lilg, aucune gêne n'a été occasionnée. N'hésite pas à revenir, même si mes réponses sont parfois un peu brutales.

Cordialement.