integrales generalisee et serie de fourier

[werqulic]

M53_2020-21-DS2 (1).pdf
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour les questions c) et e) de l'exo 2, j'ai la correction du prof mais je ne comprends pas pourquoi il y a le sin(t)/2 dans l'expression du c)
La serie de fourier s'ecrit : a0(f)+somme (pour n>=1) (an(f)cos(nt)+bn(f)sin(nt))
Ici bn=0 , a2k=2/(1-nn)Pi pour k>=1 et a2k+1=0 pour k>=0
a0=1/pi
Et je trouve que la serie=1/pi +somme(pour k>=1)(2*cos(2kt)/(pi(1-4kk))
Avec le thereome de dirichlet on peut donc dire que la serie converge simplement vers f, comme f est continue et de classe C1 par morceaux, du coup f(t)=1/pi +somme(pour k>=1)(2*cos(2kt)/(pi(1-4kk)) ou est le sin(t)/2?

Pour la question e), il faut utiliser le theroemetn parceval
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[werqulic]

il manque une grosse partie de mon probleme le voici en entier:

Pièce jointe 472326
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour les questions c) et e) de l'exo 2, j'ai la correction du prof mais je ne comprends pas pourquoi il y a le sin(t)/2 dans l'expression du c)
La serie de fourier s'ecrit : a0(f)+somme (pour n>=1) (an(f)cos(nt)+bn(f)sin(nt))
Ici bn=0 , a2k=2/(1-nn)Pi pour k>=1 et a2k+1=0 pour k>=0
a0=1/pi
Et je trouve que la serie=1/pi +somme(pour k>=1)(2*cos(2kt)/(pi(1-4kk))
Avec le thereome de dirichlet on peut donc dire que la serie converge simplement vers f, comme f est continue et de classe C1 par morceaux, du coup f(t)=1/pi +somme(pour k>=1)(2*cos(2kt)/(pi(1-4kk)) dans le sujet c'est ecrit que f(t)=1/pi +somme(pour k>=1)(2*cos(2kt)/(pi(1-4kk))+sin(t)/2

Pour la question e), il faut utiliser le theroeme de parceval
1/2pi *integrale de pi a -pi de f^2(t)dt=a0^2+1/2somme(n>=1) (an)^2+(bn)^2=1/pi^2+somme(2/(pi^2(1-4kk)^2)
mais dans la correction du prof il y a un terme en plus :1/pi^2+((1/2)*(1/2)^2 )somme(2/(pi^2(1-4kk)^2) d' ou vient le terme au centre?

[albanxiii]

Bonjour,

La fonction me semble ni paire ni impaire, donc il y a forcément des an et des bn non nuls. Essayez de reprendre de là pour le terme en sin(t) dans le développement.

[werqulic]

Bonjour, c'est le prof qui a ecrit que bn=0 pour tout n.... et puis moi aussi je l'ai calculer et j'ai obtenu aussi 0.
Bn=1/pi * integrale (pi a -pi)f(t)sin(nt)dt=1/2pi [(sin((1-n)t)/(1-n))-(sin((1+n)t)/(1+n))] de pi a 0 (comme la fonction de -pi a 0 est nul
Ce qui me semble evident que ce soit egale a 0...

[A voir en vidéo sur Futura]

[werqulic]

en fait c'est bon quand n =1. bn=1/2 , je ne l'avais pas vu.

[albanxiii]

Vu qu'il n'y a que sin(t) dans le développement donné c'est forcément que beaucoup de coefficients sont nuls mais pas tous...

[werqulic]

Bonjour, dans un autre ds j'ai un exercie avec la meme fonction f(t) , une question me dit avec les coefficient de fourier (donc c'est les meme que l'exo 2) calculer la somme(k>=1) de 1/(16n^2-1), mais je ne vois comment ,
en essayant de caluler les 3-4 premiers sommes , je n'arrive pas a trouver une espression de la somme , je n'haboutit a rien or pour la somme (k>=1)1/4n^2-1) est facile de trouver l'expression et de la demontrer par recurence. Meme en essayant avec la serie de fourier ou le therome de parceval, je n'arrive pas.