dérivabilité en un point de discontinuité

[LeTFG]

Bonsoir,

Parfois revenir aux fondamentaux ne fais pas de mal je crois...
J'ai une fonction définie comme tel (pour x > 0) : et

Et je me retrouve bloqué à tout juste la deuxième question (la première ayant été de donner le DL₁(0⁺) de f) : "2. Montrer que f est une fonction continue sur R+ et dérivable en 0 en précisant la valeur de f'(0)."

Et là, petit sentiment d'impuissance : je ne sais pas quoi faire. À la limite (sans mauvais jeu de mot...) pour x > 0, j'me suis dit de calculer la dérivé et donc dérivable => continue. Mais ça règle toujours pas le problème de la dérivabilité en 0... Quand je calcule le taux d'accroissement en 0, je me retrouve juste avec une limite qui ressemble à l'expression de ma dérivé à peu de chose près. Je n'ai pas non plus l'impression d'avoir besoin de la question précédente.

J'ai l'impression de passer tout juste à côté de quelque chose, mais là je vois pas...
Si quelqu'un pourrait m'éclairer, ce serait avec plaisir !
Bonne soirée et bonnes fêtes, TFG.
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[Anonyme007]

Bonsoir,

Je pense qu'il faut faire la remarque suivante, .

Cordialement.

[LeTFG]

Ah en effet, du coup ça me permet de justifier plus rigoureusement la continuité en 0, mais je vois pas comment ça m'aide à montrer l'existence et la valeur de la dérivée en 0 (j'arrive à retrouver cette expression en calculant la dérivée, mais rien de concluant visiblement).

Merci !

[Anonyme007]

Pour l'existence et la valeur de , il me semble qu'il faut calculer, pour tout , puis prolonger par continuité en . Je ne suis pas sûr de ce que je dis, mais essaye pour voir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Ou bien il faut calculer, tout simplement.

[LeTFG]

Bonjour,

En relisant mon cours, j'ai trouvé qu'on peut en utiliser un résultat : "si f admet un dl1 en un point, alors f dérivable en ce point".
Et pour sa valeur en faisant le taux d'accroissement je trouve 0 mais ça ne correspond pas à ce que j'obtiens quand je trace graphiquement la dérivée, mais comme j'ai l'impression de pas avoir fait d'erreur (faire une erreur sur 1-1 me ferait très peur pour la suite de mes études...) je vais faire avec.

Merci pour vos réponses et bonnes fêtes !

[gg0]

Bonjour.

Quel est le DL1 que tu as trouvé ? Et comment se fait-il que tu trouves 0 pour le taux d'accroissement ? Détaille ton calcul ...

Cordialement.

[LeTFG]

Bonsoir,

le DL de f en 0 que j'ai obtenu est : "1 + o(1)"

Et en calculant le taux d'accroissement j'ai fait deux méthodes, la première (qui en y repensant me paraît un peu fallacieuse) : et ça, ça fait 0 quand x tend vers 0 ?

L'autre :

Du coup pour la première, je doute qu'on ai le droit de remplacer f(0) par son DL, et pour la deuxième, je dois certainement trainer une erreur de calcul quelque part...

Merci !

[gg0]

Bonjour.

1+o(1) est un DL d'ordre 0 (1 = x^0). Tu as seulement trouvé que la limite en 0 est 1, pas qu'il y a un DL d'ordre 1, qui copie une des définitions de la dérivée.

Pour , il n'y a aucune raison que ça fasse 0. x est un o(1) mais , mais .
Ton "autre" calcul est complétement faux dès la fraction de dénominateur 2x. C'est quand même un gros manque de sérieux de ne pas savoir appliquer les règles de quatrième sur les fractions quand on a passé le bac. Ensuite tu reviens à la fraction précédente en faisant l'erreur inverse (au moins tu es cohérent), mais tu triches gravement en écrivant f(0) à la place de f(x). Tant qu'à tricher en remplaçant x par 0 à certains endroits mais pas ailleurs (si x vaut 0, il vaut 0 partout), autant le faire du début. C'est faux, mais ça ne perd pas de temps à faire semblant de calculer.

Bon reprenons du début : Tu connais un DL d'ordre aussi grand que tu veux de exp(x); tu peux en déduire un DL2 de exp(-x) (2 parce qu'on va diviser par x donc perdre un degré) et obtenir le DL1 demandé. L'exercice est alors presque fini.

Cordialement.

NB : Tu aurais exposé tes calculs dès le début, ce serait fait depuis 2 jours.