Dérivabilité d'une fonction/en un point

[invitebeb55539]

Salut.

J'ai fais le tour des posts sur la dérivabilité et je n'ai pas trouvé réponse à une interrogation.

Dans les bouquins il est dit qu'une fonction est dérivable en un point si elle admet une limite en ce point. La limite permet de rendre compte de la continuité de la fonction, mais la continuité n'est pas suffisante à la dérivabilité. Ce qui implique que la limite traduit au moins une autre propriété qui est nécessaire à la dérivabilité.

Mais quelle(s) est(sont) donc cette(ces) propriété(s) ? j'aimerais mieux comprendre les propriétés induites par la limite.

Merci d'avance pour tout.
-----

[invite6bacc516]

Une fonction est dérivable en un x donné si et seulement si sont taux d'accroissement en ce point admet une limite finie, et non pas uniquement une limite ^^

Effectivement la continuité correspond au fait que la fonction a une limite en x et que cette limite est l'image de x par la fonction, mais la dérivabilité est une autre définission ( qui d'ailleurs implique la continuité )

D'ailleurs ça se voit très bien graphiquement : la dérivée en un point étant le coefficient de la tangente à la courbe en ce point, on "sent" qu'il s'agit de la limite de la droite formé par ce point (x,f(x)) et d'un autre point sur la courbe ^^

[inviteae224a2b]

Une fonction est dérivable en un x donné si et seulement si sont taux d'accroissement en ce point admet une limite finie, et non pas uniquement une limite ^^

Effectivement la continuité correspond au fait que la fonction a une limite en x et que cette limite est l'image de x par la fonction, mais la dérivabilité est une autre définission ( qui d'ailleurs implique la continuité )

D'ailleurs ça se voit très bien graphiquement : la dérivée en un point étant le coefficient de la tangente à la courbe en ce point, on "sent" qu'il s'agit de la limite de la droite formé par ce point (x,f(x)) et d'un autre point sur la courbe ^^

Bonsoir,

en fait il y a deux oublis dans ce que tu dis:

-la continuité d'une fonction en un point a est vérifiée si les deux limites suivantes sont égales:


-La dérivabilité d'une fonction n'est pas uniquement garantie par un taux d'accroissement fini, il faut encore une fois que ce soit le même des deux côtés soit:

la fonction f(x) est dérivable au point a ssi:



L'exemple classique est la fonction qui n'est pas dérivable au point . En effet, si tu dessine cette fonction tu vas avoir du mal à définir la tangente en ce point (graphiquement j'entends).

Voilà, voilà. C'était juste pour être complet.

[invite03f2c9c5]

Bonsoir,

en fait il y a deux oublis dans ce que tu dis:

Ce n'est pas pour critiquer, mais Dydo a raison.

-la continuité d'une fonction en un point a est vérifiée si les deux limites suivantes sont égales:

Cela n'a pas de sens : dès lors qu'une de ces limites existe, l'autre existe aussi et elles sont égales (quand on écrit , on ne précise pas le signe de ). Ce que tu voulais sans doute écrire, c'est qu'une fonction est continue en si et seulement si elle est continue à gauche et à droite de , c'est-à-dire si et seulement si les limites et existent (et sont finies) et sont égales à (je préfère noter à la place de , mais ça ce n'est qu'une question de goût). Et attention, il existe des cas où l'absence de continuité résulte d'une situation bien pire que l'existence de limites à gauche et à droite différentes : il se peut que même ces limites n'existent pas ! Penser par exemple à la fonction de Dirichlet

,

qui est discontinue à la fois à gauche et à droite en n'importe quel réel .

-La dérivabilité d'une fonction n'est pas uniquement garantie par un taux d'accroissement fini, il faut encore une fois que ce soit le même des deux côtés soit:

la fonction f(x) est dérivable au point a ssi:

Même erreur, l'une de ces deux limites existe dès lors que l'autre existe et elles sont alors égales : est de signe quelconque dans les taux d'accroissements écrits ci-dessus. En revanche, il est vrai que est dérivable en si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite de et si les dérivées à gauche et à droite existent (et sont finies) et sont égales. Là encore, il existe des situations où aucune de ces deux limites n'existe.

Enfin, pour répondre au posteur initial :

Dans les bouquins il est dit qu'une fonction est dérivable en un point si elle admet une limite en ce point.

Attention, ton affirmation est fausse : pour qu'une fonction soit dérivable, il est nécessaire qu'elle soit continue ; en revanche, cela n'est pas suffisant. Une formulation correcte serait « si la fonction est dérivable en un point, alors elle admet une limite en ce point » (ne pas intervertir les mots « si » et « alors » !).

Intuitivement, une fonction est continue en si sa représentation graphique ne subit pas de « cassure » au point d'abscisse : on la trace sans lever le crayon. Toujours intuitivement, une fonction est dérivable en un point si sa représentation graphique est suffisamment « lisse » au point d'abscisse , c'est-à-dire si l'on peut tracer une tangente à la courbe en ce point.

La courbe peut très bien être formée d'un seul morceau (fonction continue) mais présenter un « point anguleux » (fonction non dérivable), l'exemple typique étant donné par la fonction valeur absolue en zéro, citée par Physeb. Ainsi, la continuité n'est pas suffisante pour assurer la dérivabilité. En revanche, si la courbe est constituée de deux morceaux de manière à ce qu'on doive lever le crayon au point d'abscisse pour la tracer (fonction non continue), il est clair qu'il n'e peut pas y avoir de tangente en ce point (fonction non dérivable). Ainsi, la continuité est une condition nécessaire pour avoir la dérivabilité.

J'espère que ça aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebeb55539]

Merci beaucoup pour les réponses et le recadrement, j'ai écrit une bourde

...pour qu'une fonction soit dérivable, il est nécessaire qu'elle soit continue ; en revanche, cela n'est pas suffisant.
...

La courbe peut très bien être formée d'un seul morceau (fonction continue) mais présenter un « point anguleux » (fonction non dérivable), l'exemple typique étant donné par la fonction valeur absolue en zéro, citée par Physeb. Ainsi, la continuité n'est pas suffisante pour assurer la dérivabilité.

...

Comment s'appelle cette propriété, en plus de la continuité, que doit avoir la fonction en un point pour être dérivable ?

[invite03f2c9c5]

Comment s'appelle cette propriété, en plus de la continuité, que doit avoir la fonction en un point pour être dérivable ?

Hmmm, la dérivabilité ? Plus sérieusement, la continuité est automatiquement contenue dans la dérivabilité, et tu ne peux pas vraiment exprimer cette dernière comme la conjonction de la continuité et d'une autre propriété n'incluant pas la continuité.

[inviteae224a2b]

Bonsoir DSCH,

je suis désolé mais je ne comprends absolument pas tes remarques (non pas que je m'offusque, mais je ne les comprends vraiment pas).

La définition même de la continuité d'une fonction en un point est 'l'égalité des limites à gauche et à droite" (il ne faut pas oublier qu'une limite n'est jamais atteinte par définition mais qu'on s'en approche aussi près qu'on le désire). L'existence d'une de ces limites ne garantie même pas l'existence de l'autre:

exemple




Les limites gauches et droites ne sont pas les mêmes.
D'ailleurs ces deux limites sont différentes également pour la fonction de Dirichlet et donc elle n'est pas continue. Je ne vois pas du tout comment on peut définir d'une autre manière la continuité d'une fonction.


Idem pour la notion de dérivabilité d'une fonction. Une fonction n'est dérivable en un point uniquement si l'on peut définir univoquement une pente. Or la pente à gauche et à droite doivent les mêmes. Ce n'est pas parce qu'on utilise sytématiquement la pente à droite: que la pente à gauche n'est pas autant légitime. L'exemple de la fonction est le parfait exemple d'une fonction qui admet deux valeurs de pentes en (à savoir -1 et 1) et qui pour cette raison est dite non dérivable en 0. (la fonction dérivée doit être bijective (ou injective si n'est pas définie sur l'ensemble entier considéré) et dans ce cas elle est surjective!!!! )

Donc si je me trompe je te pris de me faire part de tes commentaires mais un peu plus ettayés que lors de ton dernier post. Cela m'embêtrait de raconter des bêtises à ce sujet plus longtemps

merci d'avance.

physeb

[invite6bacc516]

En fait tu ne prend simplement pas la bonne définition de la continuité d'une fonction en un point :

La définition même de la continuité d'une fonction en un point est 'l'égalité des limites à gauche et à droite"

Cette définition est erronée effectivement : il suffit de prendre une fonction continue, prennons la fonction constante nulle, et attribuons lui la valeur 1 en 0 ( la fonction est, de ce fait, non continue, on est bien d'accord ). Limite à gauche en 0 ? 0. Limite à droite en 0 ? 0. Fonction continue en 0 ... pas si sûr que ça héhé ^^

Effectivement l'égalité des limites à droites et à gauche est une condition nécessaire à la continuité, mais non suffisante, comme le prouve l'exemple que je viens de citer.

Pour qu'une fonction soit continue en un point, sa limite en ce point doit valoir la valeur de la fonction en ce point, et c'est vraiment la seule définition de la continuité que je connaisse et que j'ai recontré, même en cherchant un peu.

Et un petit truc : pour démontrer une proposition on ne peut pas se servir d'un exemple seul; certes le tien fonctionne, mais il ne démontre rien de général au niveau des conditions nécessaires et suffisantes pour la continuité d'une fonction, par contre mon exemple montre bien qu'il y a un problème au niveau de ta définition

[invite03f2c9c5]

En deux mots, physeb, rassure-toi : ta compréhension des notions de continuité et dérivabilité n'est pas mauvaise, c'est juste que tu es imprécis sur certains points (Dydo vient d'en souligner un). Je te ferai une réponse plus détaillée demain après-midi (je n'ai pas encore dîné et je dois faire un cours demain à 8h… sur limites et continuité , désolé de te faire attendre).

[inviteae224a2b]

Merci, effectivement je suis d'accord. J'avais absolument zappé cette condition (qui a postériori est plus qu'évidente, mais qui n'était pas mienne)

Bonne nuit. Je me coucherais moins bête, c'est déjà bien non?

physeb

[invitebeb55539]

Si on étudie le cas de la fonction y=|x|, on remarque qu'en tendant vers 0 la fonction à un coefficient directeur constant, et seulement au moment de passer à x=0 le coefficient directeur change de valeur sans passer par une continuité de valeur, de manière discontinue.

Ce qui m'amène, par raisonnement inductif, à dire qu'une fonction est dérivable si et seulement si elle varie de manière continue. Ce qui (je crois) implique la continuité de la fonction.

Merci de l'aide.

[invite5e34a2b4]

Bonsoir DSCH,
je suis désolé mais je ne comprends absolument pas tes remarques (non pas que je m'offusque, mais je ne les comprends vraiment pas).
physeb

En fait, en plus de ce que Dydo a dit, il y a une autre erreur dans ce que tu dis.

Lorsque tu écris , tu sembles vouloir dire que le terme de gauche représente la limite à gauche et le terme de droite représente la limite à droite de f (en a).

Or écrit comme tu l'as fait, c'est pas le cas. C'est le cas, uniquement si tu imposes que x>0 dans tes 2 limites. (D'ailleurs, comme l'a dit DSCH, si tu n'imposes rien sur x, ces 2 limites sont égales, du moment qu'elles existent).

Mais personnellement, je trouve que c'est se compliquer la vie et c'est moins élégant/pédagogique que d'écrire : et .

Dans cette écriture on voit bien pourquoi on parle de limite à gauche (= quand h>0), et de limite à droite (h>0).
Ce qui est plus dur à voir dans ce que t'écris.

D'ailleurs, dans cette écriture, il suffit de calculer une seule limite et voir ce qui se passe quand h>0 et quand h<0.
Dans la tienne, il faut calculer 2 limites, et voir ce que ça donne quand h>0.

Et pour finir (j'arrêterai là les critiques lol) : ça me fait penser aux erreurs que pas mal de lycéens font : "x est positif, et -x est négatif parce qu'il y a un "-" devant".

Voilà en gros les erreurs de ton raisonnement. .

[invite03f2c9c5]

Comme promis, voilà une réponse plus détaillée.

Bonsoir DSCH,

je suis désolé mais je ne comprends absolument pas tes remarques (non pas que je m'offusque, mais je ne les comprends vraiment pas).

Pas de problème, il me semble que c'est le thème du forum d'avoir des discussions scientifiques (et puis cela nous change du « j'ai un DM à rendre demain, faites-le à ma place »).

La définition même de la continuité d'une fonction en un point est 'l'égalité des limites à gauche et à droite" (il ne faut pas oublier qu'une limite n'est jamais atteinte par définition mais qu'on s'en approche aussi près qu'on le désire). L'existence d'une de ces limites ne garantie même pas l'existence de l'autre:

exemple




Les limites gauches et droites ne sont pas les mêmes.
D'ailleurs ces deux limites sont différentes également pour la fonction de Dirichlet et donc elle n'est pas continue. Je ne vois pas du tout comment on peut définir d'une autre manière la continuité d'une fonction.

Plusieurs petites choses ne vont pas dans ce que tu écris. D'abord, rien n'interdit à une limite d'être atteinte, même si ce n'est pas non plus obligé. Une fonction constante prend par exemple en tout point la valeur de sa limite en l'infini. Et pour dire des choses précises, on ne va d'ailleurs pas pouvoir se passer de donner une définition raisonnablement explicite de ce qu'est une limite, et de ce qu'est la continuité.

En vérité, on dit qu'une fonction est continue en un réel contenu dans son ensemble de définition si elle admet une limite réelle lorsque la variable tend vers . Dans les programmes du secondaire, on ajoute la condition « et cette limite vaut » pour rendre le sens de cette définition plus compréhensible, mais c'est en vérité superflu : dès lors que la limite en existe, elle ne peut qu'être égale à de toute façon.

Précisons les choses en utilisant une définition de la notion de limite. Dire que est continue en , c'est dire que pour tout voisinage de prescrit à l'avance, il existe un voisinage de tel que si est dans , alors est dans . Si l'on ne veut pas employer le terme de voisinage (le définir demande de faire un peu de topologie), on peut écrire de manière équivalente qu'on peut coincer dans un intervalle du type , où désigne un réel strictement positif arbitrairement petit, à condition de prendre dans un intervalle de la forme , pour un certain . On comprend aisément que si on essaie d'imposer le même genre de chose en remplaçant par un autre nombre , cela ne peut pas marcher : pour , on ne peut pas avoir dans lorsqu'on a et assez petit. Du coup, aucun ne peut convenir dans ce cas. C'est pourquoi la condition « et cette limite vaut » est superflue.

Maintenant, parlons de limite à gauche. On dit que admet comme limite à gauche de si l'on peut coincer dans un intervalle du type , où désigne un réel strictement positif arbitrairement petit, à condition de prendre dans un intervalle de la forme , pour un certain . En termes plus rigoureux, on parle de limite lorsque la variable tend vers par valeurs strictement inférieures.

L'argument précédent, selon lequel si existe, il doit forcément être égal à , ne tient plus, car si l'on prend dans un intervalle de la forme , on ne peut pas cette fois choisir . On pourrait vouloir changer la définition de limite à gauche en faisant tendre la variable vers par valeurs inférieures au sens large (c'est-à-dire remplacer par ), mais ce n'est pas la tradition, sans doute parce qu'une telle notion de limite « à gauche au sens large » est peu utile en pratique.

Maintenant, on dira qu'une fonction est continue à gauche d'un de son ensemble de définition, si la limite à gauche existe et est égale à (cette dernière condition n'étant pas superflue).

Je te laisse écrire la définition d'une limite à droite de , ou limite lorsque la variable tend vers par valeurs strictement supérieures, il suffit de reprendre mutatis mutandis ce qui précède, en écrivant au lieu de . Tu peux aussi deviner la définition de la continuité à droite.

On en arrive à l'exemple donné par Dydo de la fonction partout constante égale à zéro, sauf en zéro où l'on impose . Elle possède bien comme limite à droite et à gauche de , d'après nos définitions désormais précises, mais n'est pas continue en zéro (et n'est continue ni à gauche, ni à droite de zéro).

Le théorème correct est : « si une fonction est continue à gauche et à droite de , alors elle est continue en ». Ou de manière équivalente : « si une fonction admet une limite à gauche et une limite à droite de , et si celles-ci sont égales à , alors la fonction est continue en » (la réciproque de ce théorème est vraie : si est continue en un point intérieur à son ensemble de définition, alors elle est évidemment continue à gauche et à droite de ). J'imagine que c'est ce que tu avais en tête comme « définition » de la continuité, mais c'est un théorème et non une définition. La définition de la continuité ne fait pas appel aux notions de limites à gauche et à droite, et c'est tant mieux, car cela la rend généralisable à des espaces beaacoup plus généraux ou les notions de gauche et de droite n'existent plus (pense à une fonction allant de dans par exemple). C'est un peu pour cela que j'ai évoqué la fonction de Dirichlet, pour montrer qu'une discontinuité peut être dûe à une situation beaucoup plus pathologique que l'existence d'une cassure entre limites à gauche et à droite.

Idem pour la notion de dérivabilité d'une fonction. Une fonction n'est dérivable en un point uniquement si l'on peut définir univoquement une pente. Or la pente à gauche et à droite doivent les mêmes. Ce n'est pas parce qu'on utilise sytématiquement la pente à droite: que la pente à gauche n'est pas autant légitime.

Le problème est que ne désigne pas la pente à droite mais la pente tout court, sauf si tu ajoutes la condition . D'ailleurs, si l'on a le droit de prendre , il suffit de poser pour obtenir ce que tu appelles pente à gauche, ; bizarre, non ?

Si l'on veut définir plus rigoureusement les notions de dérivabilité, de dérivabilité à gauche, et de dérivabilité à droite, on peut reprendre mutatis mutandis ce qu'on a écrit plus haut sur la continuité, en remplaçant les limites (respectivement les limites à gauche, à droite) de lorsque tend vers par les limites (respectivement les limites à gauche, à droite) du taux d'accroissement lorsque tend vers . On remarquera cependant que pour écrire ces taux, on doit nécessairement prendre , et on ne peut pas dire cette fois que le nombre dérivé est égal à la la valeur du taux en (cela demanderait d'écrire l'horreur !).

Mais bon, c'est un détail, et on dispose bien d'un théorème qui assure qu'une fonction est dérivable en un point intérieur à son ensemble de définition si et seulement si elle est dérivable à la fois à gauche et à droite de et si les nombres dérivés à gauche et à droite de sont égaux. Et ainsi ton intuition de la notion de dérivabilité n'était pas mauvaise, bien qu'encore une fois non généralisable à des espaces sans gauche ni droite…

L'exemple de la fonction est le parfait exemple d'une fonction qui admet deux valeurs de pentes en (à savoir -1 et 1) et qui pour cette raison est dite non dérivable en 0. (la fonction dérivée doit être bijective (ou injective si n'est pas définie sur l'ensemble entier considéré) et dans ce cas elle est surjective!!!! )

Alors là, je ne te suis plus, il me semble que tu te trompes sur l'emploi des termes « bijectif », « surjectif » et « injectif ». Une fonction est bijective lorsque tout élément de l'ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent, une fonction est surjective lorsque tout élément de l'espace d'arrivée possède au moins un antécédent, et une fonction est injective lorsque tout élément de l'espace d'arrivée possède au plus un antécédent.

Mais lorsqu'on parle de fonction, un élément de l'espace de départ ne peut jamais avoir plus d'une image, et c'est sans doute cela que tu voulais dire : la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en zéro, sa « fonction dérivée », si elle existait, devrait associer deux images à zéro… Bon, on peut voir intuitivement les choses comme ça, mais il existe des cas beaucoup plus pathologiques, comme des fonctions continues partout et dérivables nulle part ; par bonheur, ce genre de monstre ne se rencontre pas tous les jours !

Désolé d'avoir été un peu long, j'espère que ça aide tout de même.

[invite03f2c9c5]

Diantre, je m'étais pourtant relu ! Quelques corrections (je ne peux plus éditer mon message).

Maintenant, on dira qu'une fonction est continue à gauche d'un de son ensemble de définition, si la limite à gauche existe et est égale à (cette dernière condition n'étant pas superflue).

Il faut bien sûr lire .

Et puis, deux coquilles :

La définition de la continuité ne fait pas appel aux notions de limites à gauche et à droite, et c'est tant mieux, car cela la rend généralisable à des espaces beaucoup plus généraux où les notions de gauche et de droite n'existent plus (pense à une fonction allant de dans par exemple).

J'espère qu'il n'en reste pas d'autres…

[invite5e34a2b4]

En vérité, on dit qu'une fonction est continue en un réel contenu dans son ensemble de définition si elle admet une limite réelle lorsque la variable tend vers . Dans les programmes du secondaire, on ajoute la condition « et cette limite vaut » pour rendre le sens de cette définition plus compréhensible, mais c'est en vérité superflu : dès lors que la limite en existe, elle ne peut qu'être égale à de toute façon.

Salut,
Dans ce que t'as écrit, cette phrase me dérange un peu. D'ailleurs, t'as l'air de te contredire un peu après.

Comme dit avant : si on considère f telle que :
- f(x)=0 pour
- et f(0)=1.

Quand x tend vers 0, f tend vers 0. Et pourtant f n'est pas continue en 0, parce que justement

La condition « et cette limite vaut » n'est pas du tout superflue !

[invite03f2c9c5]

Salut,
Dans ce que t'as écrit, cette phrase me dérange un peu. D'ailleurs, t'as l'air de te contredire un peu après.

Comme dit avant : si on considère f telle que :
- f(x)=0 pour
- et f(0)=1.

Quand x tend vers 0, f tend vers 0. Et pourtant f n'est pas continue en 0, parce que justement

La condition « et cette limite vaut » n'est pas du tout superflue !

Non, la fonction que tu cites en exemple ne possède pas de limite en . Certes, sa restriction à en possède une, qui est bien zéro. Mais pour proprement dite, il suffit de regarder la définition d'une limite : si je choisis , pour tout , je peux choisir un dans , en l'occurence , tel que . Par conséquent, n'est pas limite de en zéro.

Bon, en vérité, je sais que la confusion provient d'une définition de la limite qui a été utilisée à une époque dans l'enseignement secondaire, où l'on considérait en effet la restriction de à son ensemble de définition privé de pour définir la limite de en , au lieu de la fonction elle-même. Arnaudiès et Lelong-Ferrand le remarquent, dans leur cours de taupe, en soulignant que la définition de l'enseignement secondaire d'alors (dans les années 1970) ne coïncidait pas avec celle du supérieur sur ce point. La définition qu'ils adoptent pour le supérieur est la mienne ; écrire « pour tout dans » au lieu de « pour tout dans » dans la définition serait assez pénible, et je ne parle pas des généralisations à des espaces plus compliqués que …

Maintenant, c'est une question de convention, l'essentiel est de bien préciser de quoi on parle pour que tout le monde se comprenne. Si je veux parler d'une limite « vieille mode », c'est-à-dire la limite quand tend vers en étant différent de , j'écris explicitement ; si je veux parler de la limite quand tend vers par valeurs strictement inférieures, j'écris , etc. Mais si j'écris tout court, cela signifie que je considère de vrais voisinages de (qui contiennent ) dans ma définition d'une limite ; en l'occurence, les , qui constituent une base de filtre commode.

En espérant avoir levé la confusion.

[invite5e34a2b4]

Non, la fonction que tu cites en exemple ne possède pas de limite en . Certes, sa restriction à en possède une, qui est bien zéro. Mais pour proprement dite, il suffit de regarder la définition d'une limite : si je choisis , pour tout , je peux choisir un dans , en l'occurence , tel que . Par conséquent, n'est pas limite de en zéro.

Bon, en vérité, je sais que la confusion provient d'une définition de la limite qui a été utilisée à une époque dans l'enseignement secondaire, où l'on considérait en effet la restriction de à son ensemble de définition privé de pour définir la limite de en , au lieu de la fonction elle-même. Arnaudiès et Lelong-Ferrand le remarquent, dans leur cours de taupe, en soulignant que la définition de l'enseignement secondaire d'alors (dans les années 1970) ne coïncidait pas avec celle du supérieur sur ce point. La définition qu'ils adoptent pour le supérieur est la mienne ; écrire « pour tout dans » au lieu de « pour tout dans » dans la définition serait assez pénible, et je ne parle pas des généralisations à des espaces plus compliqués que …

Maintenant, c'est une question de convention, l'essentiel est de bien préciser de quoi on parle pour que tout le monde se comprenne. Si je veux parler d'une limite « vieille mode », c'est-à-dire la limite quand tend vers en étant différent de , j'écris explicitement ; si je veux parler de la limite quand tend vers par valeurs strictement inférieures, j'écris , etc. Mais si j'écris tout court, cela signifie que je considère de vrais voisinages de (qui contiennent ) dans ma définition d'une limite ; en l'occurence, les , qui constituent une base de filtre commode.

En espérant avoir levé la confusion.

Ok, on est d'accord. Sauf que justement, je trouve qu'exclure le point a est plus logique. Pour moi, la notion de limite renvoie à celle de "tendre vers".
Sinon, les notions de limites et de continuité sont quasi-identiques (si ce n'est qu'on peut parler de limite en l'infini, ce qu'on peut pas avec la continuité).

Si j'ai bien compris, d'après "ta" définition, la fonction définie sur par n'aurait pas de limite en 0 parce qu'elle n'est pas définie en 0 ! Or je pencherais plutôt pour dire que ça tend vers 1. (Bon, là, c'est un exemple "cul-cul la praline", mais on peut en trouver des plus compliqués lol).
Ce sont les trucs comme ça qui me poussent à exclure "a".

N'empêche que t'as tout à fait raison : c'est une question de définition. Et il suffit juste de bien définir les choses.

[invite03f2c9c5]

Désolé de répondre tardivement (surmenage !), mais on ne peut pas en rester sur une incompréhension… due à un coupable sous-entendu de ma part.

Ok, on est d'accord. Sauf que justement, je trouve qu'exclure le point a est plus logique. Pour moi, la notion de limite renvoie à celle de "tendre vers".

On pourrait dire que les goûts et les couleurs ne se discutent pas, mais je maintiens que la définition que je préconise est la plus naturelle. Si fait partie de l'ensemble de définition de la fonction, lorsque tend vers , peut en particulier prendre exactement la valeur . Et remplacer dans la définition les voisinages de par des serait fort peu commode, d'autant plus que pour ne pas faire de jaloux, on devrait à l'arrivée remplacer les voisinages de par des : si l'expression « tendre vers quelque chose » exclut la possibilité de « valoir exactement ce quelque chose », cela doit s'appliquer autant à tendant vers qu'à tendant vers . Et on retrouve une erreur déjà commise sur ce fil, selon laquelle une limite ne devrait jamais être atteinte, ce qui interdirait d'écrire ou même .

Sinon, les notions de limites et de continuité sont quasi-identiques (si ce n'est qu'on peut parler de limite en l'infini, ce qu'on peut pas avec la continuité).

Ce n'est pas tout à fait cela. La différence, c'est que lorsqu'on parle de limite en , n'appartient pas forcément à l'ensemble de définition de la fonction, on demande seulement qu'il appartienne à l'adhérence de cet ensemble. En clair, soit est dans l'ensemble de définition, soit il est à la frontière de cet ensemble (par exemple, la fonction peut être définie sur , mais pas sur ). En revanche, lorsqu'on parle de continuité en , doit appartenir à l'ensemble de définition.

Si l'on pose et qu'on munit cet ensemble, appelé droite numérique achevée, de la topologie naturelle (celle qui prolonge la topologie de l'ordre sur , en décrétant que tout réel est strictement inférieur à et strictement supérieur à ), on peut très bien définir la fonction

et écrire qu'elle est continue en puisqu'on a bien (de même, est continue en , et en vérité sur tout entier).

Si j'ai bien compris, d'après "ta" définition, la fonction définie sur par n'aurait pas de limite en 0 parce qu'elle n'est pas définie en 0 ! Or je pencherais plutôt pour dire que ça tend vers 1. (Bon, là, c'est un exemple "cul-cul la praline", mais on peut en trouver des plus compliqués lol).

C'est là que tu as mal compris (mais c'est en partie de ma faute). La fonction que tu cites vérifie bien . On est dans la cas où n'appartient pas à l'ensemble de définition mais appartient à l'adhérence de cet ensemble. On peut alors tout à fait parler de limite en pour cette fonction, mais pas de continuité en .

Et c'est là que réside le sous-entendu coupable de ma part (les définitions précises ne doivent pas comporter de sous-entendu !). Dans la définition d'une limite que j'ai donnée, lorsque j'écris « pour tout dans », je sous-entends « pour tout dans et dans l'ensemble de définition de ». On peut s'en douter car on évoque juste après , ce qui serait un non-sens si n'était pas définie en , mais mieux vaut dire les choses proprement !

Voici une définition correcte, et j'espère sans ambiguïté. Soit une fonction numérique définie sur une partie de , et soit un point de l'adhérence de . On dit que le réel est limite de lorsque la variable tend vers si, pour tout , il existe , tel que pour tout , si l'on a , alors on a .

En résumé, lorsque appartient à la frontière de l'ensemble de définition mais pas à cet ensemble, ton point de vue coïncide avec la définition usuelle (non non, ce n'est pas « ma » définition, je n'ai rien inventé). C'est la situation la plus courante dans l'enseignement secondaire, où l'on manipule quasi exclusivement des fonctions continues sans même s'en apercevoir, et ne s'embarrasse pas à calculer des limites en des points appartenant à l'ensemble de définition : lorsqu'un énoncé demande de calculer , il est quasi certain que n'est pas définie en .

Mais lorsque appartient à l'ensemble de définition d'une fonction , rien n'interdit à un réel tendant vers de prendre exactement la valeur , si bien que dans ce cas, pour , posséder une limite en et être continue en sont synonymes (et la limite, si elle existe, vaut nécessairement ).

Exemples. i) La fonction définie sur en posant, pour tout de cet ensemble, , possède une limite en , et .

ii) La fonction définie sur en posant, pour tout de cet ensemble, , possède une limite en , et . Cette fonction est continue en ; on dit que est le prolongement par continuité de en .

iii) La fonction définie sur en posant, pour tout , , et en posant , n'a pas de limite en . On s'est en quelque sorte trompé en prolongeant ! Maintenant, rien n'empêche d'écrire que la restriction de à admet une limite en (cette restriction n'est rien d'autre que la fonction ). On peut écrire cela .

J'espère cette fois avoir été plus clair !

[invite03f2c9c5]

Si on étudie le cas de la fonction y=|x|, on remarque qu'en tendant vers 0 la fonction à un coefficient directeur constant, et seulement au moment de passer à x=0 le coefficient directeur change de valeur sans passer par une continuité de valeur, de manière discontinue.

Ce qui m'amène, par raisonnement inductif, à dire qu'une fonction est dérivable si et seulement si elle varie de manière continue. Ce qui (je crois) implique la continuité de la fonction.

Merci de l'aide.

Bonjour DaoLoNg WoNg, la discussion a un peu dérivé (par ma faute ), et personne n'a répondu à ta dernière contribution, qui est pourtant intéressante. Tu as une bonne intuition, mais si on essaie de formuler précisément cette intuition, il se pourrait que tu aies tort… L'expression « elle varie de manière continue » n'est pas très claire. Tu sous-entends peut-être que la fonction dérivée doit elle-même être continue, mais c'est une exigence plus forte que de se contenter de lui demander d'exister.

Un contre-exemple classique est donné par la fonction

.

Elle est manifestement dérivable sur , et sa fonction dérivée est donnée sur cet ensemble par les formules usuelles. Le calcul donne, pour tout ,

.

Maintenant, la dérivabilité en s'étudie directement à partir de la définition. On a, pour tout ,

,

et comme on a l'encadrement , on obtient

.

Par conséquent, est dérivable en , et .

Finalement, la fonction est dérivable sur tout entier (et elle est donc aussi continue, en passant). Graphiquement, la courbe représentant (dans un repère donné) possède une tangente en tout point, et parmi ces tangentes, celle en l'origine est « horizontale ». Je joins à mon message une illustration.

Maintenant, les coefficients directeurs de ces tangentes varient-ils de façon continue ? En d'autres termes, la fonction dérivée est-elle continue ? Sur , c'est manifestement le cas, mais en , on peut imaginer en regardant le graphique que les tangentes se mettent à osciller sauvagement quand on tend vers l'origine. Regardons cela de plus près. Il s'agit de se demander si possède une limite nulle en . Or, pour , on a . On a d'une part

(toujours car le sinus est compris entre et ), mais d'autre part, ne possède pas de limite lorsque tend vers . Dès lors, ne possède pas de limite non plus lorsque tend vers , comme le graphique le suggérait, et la fonction dérivée n'est pas continue en !

Maintenant, il faut avouer qu'une telle situation est assez pathologique. En pratique, on aime travailler dans des espaces fonctionnels comme celui des fonctions de classe , qui désignent l'ensemble des fonctions dérivable et dont la dérivée est continue. Plus généralement, étant donné un entier naturel , on note l'ensemble des fonctions dérivables fois et dont la dérivée -ième est continue (les précédentes sont nécessairement continues aussi puisque dérivables). Ces espaces sont le cadre naturel pour pas mal de théorème d'analyse, alors que travailler avec des fonctions possédant des dérivées discontinues peut être assez désagréable. En résumé, ton intuition est correcte pour les fonctions pas trop monstrueuses, mais il existe aussi des cas tératologiques.

En allant de la régularité la plus faible vers la plus forte, on a ainsi les fonctions discontinues, les fonctions continues, les fonctions dérivables, les fonctions de classe , les fonctions deux fois dérivables, les fonctions de classe , etc., chaque ensemble étant strictement inclus dans le précédent.

[invitebeb55539]

Merci beaucoup à nouveau d'avoir pris le temps de répondre à mes interrogations.

Moi qui était parti, pensant avoir totalement percé le mystère de la dérivabilité . Il y a encore du travail.