Bonjour
A propos de la dérivabilité d’une fonction quelconque
Ma question et la suivante
Comment déterminer le domaine de dérivabilité d’une fonction f sans déteminer son f’
Par exemple ds un exercice on nous demande de montrer que f(x)= (1-cosx)/sinx est dérivable sur ]-pi,pi[
Et ds la question qui suit on me demande de determiner f’
Alors que faire si je ne peux pas me servir de f’ pour trouver le domaine de derivabilité
Merci d’avance
Tu ne peux jamais te servir de f' pour en déduire une dérivabilité (du moins pas rigoureusement). Tu utilises toujours de manière implicite des théorèmes du genre : une somme de fonctions déribales est dérivable ...
En l'occurence, ces théorèmes te donnent la dérivabilité sur ]-pi;0[ et ]0;pi[
Pour les valeurs qui posent problème (ici 0), tu te ramènes à la définition de la dérivée (limite du taux de variation).
Salut,
Le seul problème ici, c'est la dérivabilité en 0, mais il te suffit de calculer la limite du taux de variations de ta fonction quand x tend vers 0 et le problème est réglé !
L'étude de la dérivabilité d'une fonction d'une variable réelle est basée sur des théorèmes et des fonctions de référence qui permettent de conclure.
On sait que le produit, la somme, l'inverse (si la fonction ne s'annulle pas) de fonctions dérivables sont dérivables.
De plus, il existe un certain nombre de fonction dont tu es sur qu'elles sont dérivables, et qui par composition ou autre, te permettent de conclure. Par exemple, les fonctions polynomiales, les fractions rationnelles, les fonctions trigonométriques et hyperboliques, etc... sont des fonctions de référence dont il est fondammental de savoir où elles sont dérivables.
Si on n'avait pas tous ces outils, il faudrait revenir à la définition de la dérivée, ce qui ne serait pas très aisé sur un intervalle quelconque. En général, cette définition pourra te servir en un point particulier (en 0 souvent).
Et comment on prouve que ces fonctions de référence sont dérivables sur tel ou tel ensemble ?
En calculant la limite du taux de variation en un point quelconque de cet ensemble ...Envoyé par Antikhippe
Prenons un exemple: montrons que les fonctions polynomiales sont dérivables sur lR.
D'abord, montrons que le monome x^n (ou b*x^n, cela revient au meme) est dérivable en un point a de lR, i.e que la limite de son taux d'accroissement existe.
lim (x^n-a^n)/(x-a) existe lorsque x tend vers a car x^n-a^n peut se factoriser sous la forme (x-a)P(x). Par exemple, x^7-a^7=(x-a)*(x^6+x^5*a+x^4*a^2+x^3*a^3+ x^2*a^4+x*a^5+a^6) .
Bref, on se retrouve après simplification au numérateur et au dénominateur par x-a avec un polynome, qui en une valeur réelle admet évidemment une limite. Ceci étant vrai pour tout réel, un monome est dérivable sur lR.
Par suite, vu les propriétés de la limite, on conclut qu'une somme de monomes, donc une fonction polynomiale, est dérivable sur lR.
D'accord... c'était juste pour savoir...
Merci à tous les deux !
Bonjour tout le monde,
Je viens de déterrer cette question ; les réponses disponibles sur le web étant assez restreintes, je tenais à y apporter ma petite pierre.
Il y a une dizaine de minutes, je me demandais encore si le domaine de la dérivée d'une fonction était bien le domaine de dérivabilité de cette fonction.
Et bien, j'ai pris des exemples concrets : sqr(x) [= racine carrée de x].
Cette fonction, on le sait, n'est pas dérivable en x=0. Mais à y regarder de plus près, la dérivée de sqr(x) est 1/(2*sqr(x)) ; dérivée qui n'est donc pas définie en 0.
Autre exemple tout aussi parlant : arcsin(x) et sa dérivée.
arcsin(x)' = 1/(sqr(1-x²)) [dérivée non définie en -1 et 1, or, arcsin(x) l'est]
Si, dans le cadre d'un exercice, on vous demande le domaine de dérivabilité avant la dérivée, regardez bien votre fonction et dites vous ceci : "il s'agit d'un quotient : je regarde les conditions d'existence du dénominateur au carré" - "il s'agit d'une fonction définie sur un intervalle fermé : j'ouvre les intervalle".
bon soir à tous
moi je veux savoir surtout est ce qu'il y'a une relation entre le domaine de dérivabilité d'une fonction et son domaine de définition
Le domaine de dérivabilité est inclus dans le domaine de définition.
