DM fonction continue et convergente => bornée

[Telog]

Bonjour,
je n'arrive pas à démontrer qu'une fonction continue de R+ dans R qui converge vers B de R est nécessairement bornée.
En trucs peut être utile:
-caractérisation séquentielle de la limite
-limite finie en b (je crois que b est fini sinon c'est trop simple) => il existe e telle que f bornée sur [b-e;b+e]
-l'image d'un segment par une fonction continue est un segment (donc bornée et on sait aussi qu'il atteint ses bornes)
Il n'y a pas tout.

Donc voilà j'arrive pas trop à le démontrer et j'ai pas trop d'idée mise à part peut être introduire des suites
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[albanxiii]

Bonjour,

L'énoncé n'est pas clair. Je pense qu'il faut lire que f converge vers B lors que x tend vers l'infini.
Ensuite, je ne vois pas d'argument simple avec la caractérisation séquentielle de la limite.

Un indice pour vous aider à visualiser, sinon à démarrer : que peut-on dire d'une fonction continue sur un intervalle du type [0, A] ? Et ensuite comment traiter le cas qui reste, [A, +\infty[ ? (cette fois la définition de la limite intervient)

[gg0]

Bonjour Telog.

En fait, l'idée de Albanxiii (salut Alban !) est la méthode classique de démonstration, car une fonction bornée sur deux intervalles est bornée sur leur réunion.

Bon travail !

[Telog]

[0,A] (A finie) est un segement(intervalle fermé, borné) f est continue donc f([0,A]) est un segment, donc est borné: la démonstration est faite sur [0;A], On note S=max(|bornesup|,|borneinf|)
Sur [A,+inf[:
définition de la limite: (V est "quelque soit" est E est "il existe")
Ve>0,EM>0,Vx>M,|f(x)-B|<=e
Mais je n'arrive pas à trouver de e qui convienne
j'ai essayé avec e=|S-f(M)| (dans la partie précédente avec A=M)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En fait, il faut procéder à l'envers : Commencer par la limite, en choisissant e comme tu veux (1 par exemple), ce qui te donnera le M = A.

NB : "\forall e>0, \exists M>0, \ \forall x>M \ |f(x)-B| \geq e " entre les balises TEX ("aller en mode avancé" en réponse rapide, ou directement avec "Répondre") est plus lisible que ton "Ve>0,EM>0,Vx>M,|f(x)-B|<=e". On obtient :

Le LaTeX s'apprend peu à peu en imitant les messages (lire avec "citer")

Cordialement.

[Telog]

D'accord merci je ne peux pas pour l'instant mais j'essayerai