Diviseur de 0.

[Easyjet]

Bonjour,

Quelqu'un peut-il m'éclairer sur ces deux points, (mais qui n'ont pas de rapport) :

1) Dans mon cours, il est dit : Soit (A,+,x) un anneau. Un diviseur de 0 est un a dans A\{0} tel qu'il existe un b dans A\{0} tel que ab=0 ou ba=0.

Ok mais 0 est un diviseur de 0, et là dans la définition, un diviseur de 0 est un nombre non nul, donc problème.

2) Dans les congruences, lorsque a est congru à b modulo n, cela signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Je prends 7 congru à 1 mod 6. Pourtant le reste de 7 par 6 fait 1 et celui de 1 par 6 vaut 6, et 1 diffère de 6, même modulo 6, donc...

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonsoir.

1) Il y a effectivement un vocabulaire qui manque de cohérence, mais en pratique on n'a pas de problème. Le contexte permet de savoir de quoi on parle.
2) Heu ... 1 = 0*6+1. Le reste est 1, pas 6.

Cordialement.

[Easyjet]

Désolé pour la deuxième, je suis allé trop vite en besogne. Effectivement.

[GBZM]

Bonsoir,

En fait tout élément de l'anneau divise 0 puisque .
Mais ce qui est défini ici est la notion de diviseur-de-zéro (je mets des tirets pour souligner que cette expression est en fait un bloc).
En prenant les choses par l'autre bout, on dit qu'un élément de l'anneau est régulier quand pour tout élément , on a et .
Un élément non nul de l'anneau est un diviseur-de-zéro si et seulement s'il n'est pas régulier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Easyjet, ce n'est pas poli de poser la question sur plusieurs forum à la fois. Surtout après avoir eu une réponse ici.