Famille libre

[LeKiwii]

Bonjour, voila mon problème: je ne comprends pas pourquoi la solution de l’exercice est la solution enfaite je ne vois pas pourquoi sa implique que la famille est liée. Je pense que c’est tout simple mais je ne vois pas…

Merci d’avance.
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[Deedee81]

Salut,

Si trois fonctions peuvent s'exprimer comme combinaison linéaire de deux fonctions, alors forcément ces trois fonctions sont liées.

Par exemple, appelons F1, F2 et F3 ces fonctions (par facilité). Tu exprimes F1 et F2 comme combinaison linéaire de sin et cos.
Tu résous le système et tu obtiens sin et et cos en fonction de F1 et F2 (sauf si F1 et F2 sont déjà linéairement dépendant mais dans ce cas le problème est déjà résolu).
Puis tu exprimes F3 en fonction de sin et cos, et donc en fonction de F1 et F2 et donc c'est lié. Barbatruc

[GBZM]

Bonjour,
Est-ce que tu te souviens des formules d'addition trigonométriques :

[Deedee81]

C'est vrai que écrire explicitement les combinaisons en question peut aider

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

de façon générale, la dimension d'un E.V. est le nombre maximal d'éléments d'une famille libre, donc il ne peut pas y avoir de famille libre avec plus d'éléments que la dimension. Il n'est pas tout à fait évident (mais quand même pas très difficile à montrer) que l'ensemble des fonctions A sin(X+B) est un E.V. (qui est le même que celui engendré par sin x et cos x) mais on voit facilement qu'il ne peut être que de dimension 2 puisqu'il y a deux paramètres libres.

[MissJenny]

on voit facilement qu'il ne peut être que de dimension 2 puisqu'il y a deux paramètres libres.

a priori ça suggère que c'est une variété de dimension 2 mais pas forcément un sous-espace vectoriel.

[Archi3]

oui comme j'ai dit le caractère EV n'est pas totalement évident mais se démontre assez facilement dès qu'on sait développer sin(a+b), ce qui est le cas je suppose des élèves à qui on pose le premier exercice .