Application affine et homothétie

[joq35]

Bonsoir à tous,

J'aurai besoin d'aide pour une démonstration.

J'ai démontré assez facilement qu'une application affine f, ayant pour partie linéaire l'identité, est une translation.
On prend 2 points M et N.
Alors

Par Chasles, on a :

D'où :

Ainsi :
f(M) = M + u
On a bien notre translation.

J'essaye maintenant de montrer qu'une application affine f, ayant pour partie linéaire une homothétie vectorielle (de rapport r), est une homothétie affine de rapport r.
On a :


Mais je n'arrive pas à m'en sortir avec Chasles après. J'essaye d'arriver à montrer que


Pouvez-vous me mettre sur la piste ?

Merci à vous.
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[gg0]

Bonjour.

Qui est A ?

Sinon, il va bien falloir faire apparaître le centre de l'homothétie, qui est le seul point fixe si r ne vaut pas 1.

Cordialement.

[joq35]

Bonsoir,

Merci pour votre retour.
A c'est un point fixe.

On sait que l'application linéaire de f est :

Donc
qui est sujective. Donc l'ensemble des points fixes de f st non vide. Soit A un point fixe, donc f(A) = A

Après, c'est presque terminé :


C'était tout bête, il suffisait de savoir comment on pouvait justifier que A est un point fixe.

Merci.