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caracterisation application affine



  1. #1
    Syllys

    caracterisation application affine


    ------

    bonjour , j'ai un petit probleme en géométrie et j'aurais besoin d'un peu d'aide :

    Soit E un espace affine d'espace vect associe E' .
    f une application affine de E ds E , de partie linéaire f'
    soit V ss ens de E forme des vecteurs Mf(M) , M appartenant à E.

    J'ai montré que :
    - V est une variété affine de E' de direction Im(f'-id)
    - les applications affines de E teles que V soit un singleton sont les translations .

    je dois :
    - Caractériser les applications afines de E telles que V soit un sous-espace vectoriel de E' .

    En faisant des calculs , je n'arrive pas à caractériser f' ; pourtant , je peux montrer je pense que les translations ne conviennent pas ,et que les symétries , homotheties , projections conviennent .

    Peux-t-on passer en revue toutes les applications affines ou faut-il caractériser f' ?

    Je vous remercie d'avance pour vos réponses et votre aide .

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : caracterisation application affine

    Bonjour,
    tu as déjà montré que V est un sous espace affine, que lui faut-il de plus pour être un sev? Ensuite comment caractériser cela en terme affine?
    Il ne faut pas chercher à en mettre plus car de telles applications sont très diverses (autant que les applications linéaires)

  4. #3
    Syllys

    Re : caracterisation application affine

    chère homotopie , merci beaucoup pour ta réponse . En utilisant tes indications , j'en arrive à :
    pour que V soit sev , il faut que le vecteur nul appartienne a V et donc il existe au moins un point fixe a f .les applications cherchées ont donc au moins un point fixe .

    Est ce qu'un sous espace affine d'un espace vectoriel est vectoriel si il possede le vecteur nul? si c'est le cas , pourquoi ? mais si c'est le cas :
    V sev ssi l'ens des fixes non vide .

    Merci

  5. #4
    homotopie

    Re : caracterisation application affine

    Citation Envoyé par Syllys
    chère homotopie , merci beaucoup pour ta réponse . En utilisant tes indications , j'en arrive à :
    pour que V soit sev , il faut que le vecteur nul appartienne a V et donc il existe au moins un point fixe a f .les applications cherchées ont donc au moins un point fixe .

    Est ce qu'un sous espace affine d'un espace vectoriel est vectoriel si il possede le vecteur nul? si c'est le cas , pourquoi ? mais si c'est le cas :
    V sev ssi l'ens des fixes non vide .

    Merci
    Oui c'est tout à fait ça.
    Pour le dernier point, un sous espace affine est en gros 1 point particulier+sev.
    Or s'il l'est pour un de ces points il l'est pour tous ses points. Ainsi, s'il contient le vecteur nul...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Syllys

    Re : caracterisation application affine

    encore merci homotopie , j'aurais encore besoin d'un peu d'aide si ce n'est pas trop abuser ....
    voilà , après moulte questions aussi sympathiques l'une que l'autre , on me demande de montrer la chose suivante:
    f a un unique point fixe point fixe si et seulement si f'-id est un endomorphisme inj. de E' .
    pour la première implication , ca va . pour la deuxieme je montre que si f'-id est inj et que f admet deux point fixes , ce sont les memes points .mais comment montrer l'existence d'au moins un point fixe ?
    merci encore .

  8. #6
    homotopie

    Re : caracterisation application affine

    Rebonjour,
    tu as déjà caractérisé les applications ayant un point fixe par l'espace V.
    Que peut-on dire de V si f'-id est injectif?

    Cordialement

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  10. #7
    Syllys

    Re : caracterisation application affine

    bonjour , je ne sais pas trop , est ce qu'on peut dire ,si f'-id est injectif ,que Im(f'-id)=E' et donc que V= E' donc V est espace vectoriel donc l'ens des pts fixes est non vide?

  11. #8
    homotopie

    Re : caracterisation application affine

    Citation Envoyé par Syllys
    bonjour , je ne sais pas trop , est ce qu'on peut dire ,si f'-id est injectif ,que Im(f'-id)=E' et donc que V= E' donc V est espace vectoriel donc l'ens des pts fixes est non vide?
    Oui f'-id est un endomorphisme injectif donc par le théorème du rang est surjectif aussi. 0 est donc dans V.

  12. #9
    Syllys

    Re : caracterisation application affine

    c'est genial merci beaucoup et peut-etre à tout à l'heure (il reste une ultime question....)

  13. #10
    Syllys

    Re : caracterisation application affine

    bonsoir , en fait , c'est pas si génial que çà , parce qu'on est pas forcément en dimension finie , donc le théorème du rang ne s'applique pas à priori ...

  14. #11
    homotopie

    Re : caracterisation application affine

    Citation Envoyé par Syllys
    bonsoir , en fait , c'est pas si génial que çà , parce qu'on est pas forcément en dimension finie , donc le théorème du rang ne s'applique pas à priori ...
    bonsoir, je n'avais pas perçu cet aspect (ou plutôt j'avais supposé que c'était en dimension finie).
    Malheureusement pour l'instant je "bloque", promis je réfléchis à la question.

    Cordialement

  15. #12
    homotopie

    Re : caracterisation application affine

    Bonsoir,
    je pense qu'en dimension infinie il faut une ou plusieurs supplémentaires. Car, il me semble que ceci est un contre-exemple :
    E=E'=R[X]
    f(P)=(X+1)P-1 est affine de partie linéaire f'(P)=(X+1)P.
    On a (f'-id)(P)=X.P donc f'-id est injectif.
    Mais f(P)=P implique X.P=1 ce qui est sans solution daans E=R[X].

    Cordialemnt

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  17. #13
    Syllys

    Re : caracterisation application affine

    bonjour. de toute évidence , il y a un petit probleme dans l'enoncé .merci pour toutes tes réponses et le contre exemple , désolé de t'avoir fait cherché quelque chose de faux .

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