suites de fonctions
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suites de fonctions



  1. #1
    invitee75a2d43

    suites de fonctions


    ------

    bonjour,

    j´ai un doute sur un théorème qui concerne la convergence uniforme d´une suite de fonctions sur un intervalle I. Il s´agit du théoréme suivant.

    Une suite de fonctions est uniformément convergente sur I si elle est simplement convergente sur I, de fonction limite f, et si de plus:

    Sup (fn(x) - f(x)) est une suite convergente.

    Dans sup il faut évidement comprendre qu´il faut choisir x dans I tel que (fn(x) - f(x)) soit maximum.

    Bon. Dans le bouquin où j´ai lu ça, ils donnent un exemple et un contre-exemple, dans lequel il est "prouvé que fn ne converge pas uniformément, car
    Sup (fn(x) - f(x)) converge, mais pas vers 0.

    Il s´agit apparemment d´une erreur, soit dans l´énoncé du théorème, soit dans l´exemple en question.

    Donc voilà ma question: faut-il que Sup (fn(x) - f(x)) converge vers 0 pour qu´on en déduise la convergence uniforme, ou suffit-il qu´elle converge?

    merci d´avance

    christophe

    -----

  2. #2
    invitec314d025

    Re : suites de fonctions

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    faut-il que Sup (fn(x) - f(x)) converge vers 0 pour qu´on en déduise la convergence uniforme
    Oui, c'est même la définition de la convergence uniforme.
    Enfin, il faut quand même mettre une valeur absolue, c'est Sup(|fn(x)-f(x)|), pas Sup(fn(x)-f(x)).

  3. #3
    invitee75a2d43

    Re : suites de fonctions

    d´accord, merci

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