de Somme à Intégrale

[jean-marc6999]

Bonsoir,

J'aimerais utiliser une intégrale à la place de la sommation discrète.

Dans mon problème, on a : 1 > a > 0, par exemple a = 0.1.

Avec la somme ci-dessous, si j'utilise un tableur, j'obtient après 1000 données un résultat très proche de 99.



L'idée est d'utiliser la forme d'intégrale suivante :



ce qui donnerait la formule suivante :

de 1 à

En remplaçant a par 0.1, on a le premier terme de la différence (1-0.1^2)^n = (0.99^2)^n qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini, et donc il ne reste que le deuxième terme :

= 98.504, et non 99... donc j'ai fait une erreur, mais laquelle ?

Merci pour votre aide !
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[jacknicklaus]

Bonjour,

pourquoi compliquer ?


dont la limite quand n->infini est qui est bien 99 si a = 0.1

[pm42]

Je plussoie jacknicklaus : on a la formule directe donc pourquoi passer par l'intégrale qui ne calcule pas la même chose ?

[jean-marc6999]

Merci Jack
OK vous utilisez la raison de la somme, correct?

[A voir en vidéo sur Futura]

[jean-marc6999]

Donc la raison de mon erreur est que l'Intégrale calcul "autre chose" que la somme, correct?

[jacknicklaus]

ce qui donnerait la formule suivante :

de 1 à

En fait, avec les conditions sur a qui assurent la convergence, on a
qui n'a aucune raison de tomber sur la limite de la somme précédente, vous ne calculez pas la même chose comme le dit pm42

[jean-marc6999]

Re-bonsoir

J'ai utilisé la somme des termes d'une suite géométrique avec sa raison, et j'arrive au résultat suivant :



Est-il correct?

Merci

[MissJenny]

le membre de gauche est une somme sur k mais il n'y a pas de k dans l'expression donc a priori ça n'est pas correct.

[pm42]

Jackniklaus t'avait donné le résultat plus haut donc lire le fil serait une bonne idée.

Ensuite, quand tu as une somme qui va jusqu'à l'infini, la mettre égale à une expression dans laquelle il y un n+1 représentant l'indice ne peut pas marcher.

[Archi3]

Donc la raison de mon erreur est que l'Intégrale calcul "autre chose" que la somme, correct?

oui c'est ça, ça ne calcule par la même chose , tu ne peux pas passer à la limite qui donne une intégrale car le "pas" ne tend pas vers zéro, donc la différence entre le rectangle de largeur 1 et la courbe continue ne disparait pas et donne une valeur non nulle à l'infini. Par exemple on définit la constante d'Euler comme la différence entre la somme des 1/n et ln(n) qui est la primitive de la fonction continue : https://fr.wikipedia.org/wiki/Consta...ler-Mascheroni

[pm42]

le membre de gauche est une somme sur k mais il n'y a pas de k dans l'expression donc a priori ça n'est pas correct.

C'est exact mais je suppose qu'en fait, il fait une somme sur n.
Ceci dit, bien vu, cela fait une erreur de plus.

[stefjm]

oui c'est ça, ça ne calcule par la même chose , tu ne peux pas passer à la limite qui donne une intégrale car le "pas" ne tend pas vers zéro, donc la différence entre le rectangle de largeur 1 et la courbe continue ne disparait pas et donne une valeur non nulle à l'infini. Par exemple on définit la constante d'Euler comme la différence entre la somme des 1/n et ln(n) qui est la primitive de la fonction continue : https://fr.wikipedia.org/wiki/Consta...ler-Mascheroni

Du coup, c'est presque la même chose à une constante près (et constante bien utile et bien chiante...).

[jean-marc6999]

Oui je me suis trompé.

Donc avec le bon indice :



L'égalité est-elle correct maintenant?

[jean-marc6999]

oui c'est ça, ça ne calcule par la même chose , tu ne peux pas passer à la limite qui donne une intégrale car le "pas" ne tend pas vers zéro, donc la différence entre le rectangle de largeur 1 et la courbe continue ne disparait pas et donne une valeur non nulle à l'infini. Par exemple on définit la constante d'Euler comme la différence entre la somme des 1/n et ln(n) qui est la primitive de la fonction continue : https://fr.wikipedia.org/wiki/Consta...ler-Mascheroni

Merci pour ta réponse

[jean-marc6999]

Du coup, c'est presque la même chose à une constante près (et constante bien utile et bien chiante...).

Tu veux dire que le "à une constante près", avec l'exemple de a = 0.1, c'est la différence antre le 99 et le 98.504 ?

[jacknicklaus]

Oui je me suis trompé.

Donc avec le bon indice :



L'égalité est-elle correct maintenant?

Non. le bon résultat est donné au post #2.
Formule classique d'une somme de suite géométrique de raison (1-a²) , faire attention que la somme que vous employez démarre à i = 1 alors qu'usuellement on démarre à i = 0, pour avoir un 1er terme égal à 1. D'où le -1 qui termine la formule.

[jean-marc6999]

OK

Donc pour être sûr d'avoir compris :



donc :





basée sur une suite géométrique de raison , nous avons :



donc :



autrement dit :



Est-ce bien correct?

[gg0]

Cette fois-ci, le calcul est correct. Reste à faire tendre n vers l'infini si tu veux


Cordialement.