déterminant d'une matrice non carrée

**Littlenerd** · 19/03/2023, 09h32

Bonjour,
je me demandais pourquoi est-ce que le déterminant d'une matrice non carrée n'était pas défini? Vu que ça représente le volume délimité par les colonnes qui font office de vecteurs. Exemple, les matrices dont j'ai envoyé la photo dans le 2e message
ne représentent-elles pas le meme volume? La première aurait une surface plutot qu'un volume, comme la deuxième..? Merci d'avance et bonne journée.

**Littlenerd** · 19/03/2023, 09h36

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Voici les matrices

**gg0** · 19/03/2023, 10h34

Bonjour.

Avec deux vecteurs dans l'espace on ne définit pas un volume. D'ailleurs le déterminant n'est pas un volume (ou une surface), il peut être négatif.
En fait, de façon générale, le déterminant se définit autrement, et ça nécessite un tableau carré.

Cordialement.

**MissJenny** · 19/03/2023, 10h36

que le déterminant représente un volume est juste une interprétation, pas toujours valable. On peut considérer des matrices dont les coefficients sont dans n'importe quel anneau, un anneau de polynômes par exemple, un anneau de matrices, etc.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Littlenerd** · 19/03/2023, 10h50

Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses mais ça ne m'a vraiment pas aidée. Et @gg0, je sais bien, je me suis mal exprimée, je voulais dire un volume orienté ou une surface orientée. Quand bien même cela ne m'aide pas.

**MissJenny** · 19/03/2023, 11h03

il faudrait que tu étudies la théorie des formes multilinéaires.

**gg0** · 19/03/2023, 11h54

Oui, d'ailleurs, Littlenerd, qu'appellerais-tu "déterminant" pour ta matrice 3X2 ?

**GBZM** · 19/03/2023, 12h01

Bonjour,

Supposons que tu as une famille de $\text{[math]}$ vecteurs $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ (avec son produit scalaire canonique $\text{[math]}$ ). Tu voudrais attraper le $\text{[math]}$ -volume du $\text{[math]}$ -parallélépipède engendré par ces vecteurs au moyen d'un déterminant ? Le déterminant de la matrice carrée $\text{[math]}$ dont les coefficients sont les $\text{[math]}$ est le carré de ce $\text{[math]}$ -volume.
Parler de $\text{[math]}$ -volume orienté n'aurait pas de sens pour $\text{[math]}$ : quel sens voudrais-tu donner à "deux vecteurs sont dans le sens direct dans $\text{[math]}$ " ?

**stefjm** · 19/03/2023, 12h14

Par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic...imension_n%3Ek

**Littlenerd** · 20/03/2023, 08h37

Ooohh j'ai compris merci infiniment à tous !!

déterminant d'une matrice non carrée

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