Marche aléatoire sur Z

[Alphasaft]

Bonjour,

Je dois préparer un exposé sur les marches aléatoires à valeurs dans Z.
J'ai réussi à trouver sur Internet une belle démonstration de la probabilité du retour à l'origine, qui est de 1 - |1 - 2p| quand P(X = 1) = p, P(X = -1) = 1 - p, avec X le pas.
J'aimerais généraliser et intuitivement dire que si il existe n un entier et p dans ]0;1[ tq :



Alors on a toujours cette même probabilité de retour à l'origine.
Ca me parait assez intuitif, mais je n'ai strictement aucune idée d'où commencer pour le montrer, ni même si ce résultat est vrai.

Serait-il possible de m'orienter vers une démonstration, ou de m'en proposer une (à condition que ce soit vrai !)
Je précise encore une fois que le résultat pour n = 1 et p quelconque est démontré.

Merci d'avance !

PS : Si le résultat n'est pas vrai/difficilement démontrable dans le cas général, une démonstration qui ne fonctionne qu'avec p = 1/2 me convient également.
-----

[MissJenny]

si tu fais des sauts de plus d'une unité, tu peux passer du positif au négatif sans passer par zéro (donc sans retour à l'origine). Donc à mon avis c'est plus compliqué que tu ne penses.

[GBZM]

Bonjour,
Si on a une vision continue de la marche, un passage du positif au négarif traverse forcément 0.

[Alphasaft]

Je pense que le problème principal ne vient pas de là : s'il existe un n fixé tel que la marche a une probabilité 1 de revenir dans [|-n; n|], puisque la probabilité de passer à l'origine sachant qu'on se trouve dans cet intervalle est strictement positive (en effet pour chaque cote entre -n et n il existe un nombre non-nul de chemins qui amènent de cette cote à 0), sauter au-dessus de l'origine avec probabilité 1 revient à revenir à l'origine avec probabilité 1, et ce même si on ne voit pas la marche comme continue.

Ce qui m'inquiète plus, c'est que la justification intuitive serait quelque chose comme "ça se comporte asymptotiquement comme une marche avec seulement deux pas possibles, qui sont la moyenne des pas disponibles vers le haut et la moyenne des pas possibles vers le bas"... qui ne fonctionne pas, parce qu'effectivement la marche se comporte 'à peu près' comme telle mais qu'on veut un retour *exact* en 0... D'ailleurs sinon on justifierait le retour certain à l'origine de la marche symétrique par "ça se comporte asymptotiquement comme un unique pas qui vaut 0"

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

tu devrais spécifier complètement cette marche aléatoire : es-tu en temps discret ou en temps continu? quel est le point de départ et qu'appelles-tu "retour à l'origine" ?

[Alphasaft]

Pardon de ne pas avoir précisé.

Je prends X une variable aléatoire à valeurs dans un sous ensemble fini de Z, et je pose , où les Xk sont des copies indépendantes de la variable X.
La probabilité de retour à l'origine désigne .

On sait que si , la marche retourne à l'origine avec probabilité 1 - |2p - 1|.

On choisit un , et on prend .
La probabilité de retour à l'origine est elle toujours ?

[GBZM]

On pourrait aussi chercher la probabilité de .

[MissJenny]

bonjour, j'ai relu les chapitres du Feller qui traitent de la marche aléatoire simple, et j'ai vu qu'il était fait usage d'un résultat qui dépend explicitement du fait que les pas sont soit +1 soit -1, notamment le fait que Sn=0 seulement si n 'est pair, et qu'on ne peut passer de Sn > 0 à Sn+1 < 0. Donc, si je suis incapable de faire le calcul, je devine que la probabilité de retour à l'origine ne doit pas être la même si tu autorises des pas plus grands. En revanche je pense que ton intuition est correcte : les états sont récurrents si p=1/2 et transitoires sinon (mais je ne saurais pas le prouver).

[MissJenny]

les états sont récurrents si p=1/2 et transitoires sinon (mais je ne saurais pas le prouver).

si en fait je sais le démontrer. Un théorème sur les chaînes de Markov dit que l'état x est récurrent si et seulement si la série des P_n(x,x) diverge, où P_n(x,x) est la probabilité que S_n = x sachant S_0 = x, autrement dit la probabilité que la chaîne partant de l'état x repasse par x n pas plus tard. Dans le cas de cette marche aléatoire on peut montrer (grâce au théorème central limite par exemple, puisque l'espérance et la variance de Sn sont faciles à calculer) que la série converge si p ne vaut pas 1/2.