Valeurs entières d'une fonction

[khadimulhaq]

Bonjour,
Est-Il possible de connaitre les x0 où une fonction f(x), définie dans IR, prend des valeurs entières f(x0) ?
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[albanxiii]

Bonjour,

Cela revient à résoudre l'équation f(x) = n, pour certaines valeurs de n, nombre entier.

Vous avez peut-être un cas concret en tête ?

[khadimulhaq]

Merci Albanxiii.
Je veux savoir si connaitre l'expression d'une fonction, par exemple f(x)=ax^2+bx+c, permet de savoir, par quelque procédé, quand est-ce que f(x) est un entier.
Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Je veux savoir si connaitre l'expression d'une fonction, par exemple f(x)=ax^2+bx+c, permet de savoir, par quelque procédé, quand est-ce que f(x) est un entier.

Si, a, b, c sont rationnels ce n'est pas difficile d'avoir certaines solutions entières (faut réfléchir si ça les donne toutes, je crois que oui). Dans le cas plus général (des réels, degrés plus élevés) la question n'est pas du tout évidente !

[A voir en vidéo sur Futura]

[khadimulhaq]

Salut.
On peut vérifier, bien sur. Mais y a-t-il des théorèmes à ce propos pour n'importe quelle fonction f(x) ?

[Deedee81]

Mais y a-t-il des théorèmes à ce propos pour n'importe quelle fonction f(x) ?

Sûrement ! Mais là je laisse la main, je n'ai pas les réponses

[MissJenny]

un théorème qui permet d'affirmer l'existence de valeurs entières d'une fonction est le théorème des valeurs intermédiaires. Il ne s'applique qu'aux fonctions continues, donc pas aux fonctions quelconques, mais les fonctions continues ça fait quand-même pas mal de monde. Un exemple d'application : si f est une fonction réelle continue dont la limite en -infini est 0 et la limite en +infini est + infini, alors f prend toutes les valeurs entières positives. C'est le cas de l'exponentielle par exemple.

[pm42]

En effet mais d'une façon générale on ne peut rien dire sur les x0 où la fonction prend des valeurs entières, celles-ci n'ayant rien de particulier.
Et à partir d'un jeu de contraintes ou d'une fonction existante, on peut construire tout ce qu'on veut.

[ThM55]

Il faut peut être limiter la question; par exemple il y a des polynômes qui ne prennent que des valeurs entières sur .

On connait tous ces polynômes. Ce sont les pour tous k entier positif. Les fractions rationnelles qui prennent des valeurs entières pour tout x entier sont ces polynômes, donc considérer les fractions rationnelles n'apporte rien de neuf.

Si on réduit les exigences, on peut demander les polynômes qui prennent des valeurs entières sur k+1 entier consécutifs: en x = n, n+1, ... ,n+K; ils sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers des polynômes P(x;k), de la forme .

Je ne crois pas qu'on puisse trouver des résultats pour toute fonction. Cela n'a pas beaucoup de sens, les espaces fonctionnels sont gigantesques et pour la plupart hors de portée de nos cerveaux humains. Il faut se limiter à des espace fonctionnels réduits, par exemple les fonctions continues (déjà mentionnés pour les valeurs intermédiaires), ou bien analytiques, ou certaines fonctions intégrables etc, pour lesquels on peut au moins déduire certains résultats.

[khadimulhaq]

Merci.
On peut quand même observer où f(x) est entier par les points d'intersection entre la la courbe de sin(πf(x)) et l'axe des x.
Cordialement.