Bonjour, j'aimerais démontrer la chose suivante:
Si C est un espace métrisable compact et indénombrable, alors nous pouvons le partitionner en deux ensembles A et B tel que chaque sous-compact indénombrable de C intersecte A et B.
J'ai essayé de le démontrer mais sans succès, il faut apparement utiliser l'axiome du choix mais je suis un peu perdu.
J'ai fait la chose suivante: pour chaque x dans C, on peut trouver un voisinage V_x de ce point et par l'axiome du choix, on peut trouver un point a_x différent de x dans V_x. Je pose A comme étant l'ensemble de ces a_x et B=C\A.
Ensuite, si K est un compact indénombrable tel que K n'intersecte pas A, alors puisque les V_x forment un recouvrement de K, on peut trouver un nombre fini d'entre eux qui recouvrera encore K par compacité. Or, chacun de ces V_x va contenir un point de A ce qui est absurde et donc K va rencontrer A.
Après ça, je ne sais pas comment montrer que K va intersecter B :/ (et après réflexion je ne suis même pas convaincu que mon argument pour montrer que K intersecte A est valable...)
Est ce que quelqu'un aurais des idées ou une piste?
Merci d'avance.
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