maximum de l'hétérozygosité attendue

[MissJenny]

bonjour à tous, je poste ici mais ma question est peut-être du niveau maths du lycée... en tout cas au-dessus de mon niveau.

Si on se donne une loi de probablité P={p1,...,pk} (donc une loi sur un ensemble à k éléments qu'il n'est pas nécessaire de préciser), on peut définir un indice de diversité H(P) = 1 - p1^2 - p2^2 - ... - pk^2 (1 moins la somme des carrés de probabilités élémentaires).

Le lien avec le titre du fil est qu'en génétique, si on considère un locus où existent k allèles avec les fréquences p1,...,pk, la probabilité qu'un individu tiré au hasard soit hétérozygote est H(P) <il faut supposer l'indépendance bien entendu>

On peut lire dans tous les cours de génétique des population que H(P) est maximum pour p1 = ... = pk = 1/k

Ca n'est pas surprenant, mais je ne sais pas le démontrer. Je sais pour k=2 puisqu'alors on a P={p,1-p} et il suffit de dériver H(P) par rapport à p pour trouver p=1/2. Mais pour k plus grand que 2 je ne sais pas faire.

Quelqu'un a-t-il une idée de la démonstration ? (qui doit être facile puisqu'aucun auteur ne prend la peine de l'exposer).
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[MissJenny]

tiens, en y réfléchissant en termes géométriques, je me dis que puisque p1+...+pk=1, la loi P est un point du simplexe de dimension k-1 construit sur les k vecteurs d'un espace de dimension k. Le point de ce simplexe le plus proche de 0, donc tel que p1^2+...+pk^2 soit minimum doit en être le centre, puisque c'est là que la plus grande sphère centrée en 0 tangente le simplexe (en m'inspirant de ce que je vois en dimension 3)

mais comment formaliser ça?

[GBZM]

Bonjour,
En écrivant Pythagore, avec l'origine O, le point P de coordonnées (p_1,...,p_k) de somme 1 et le point H de coordonnées (1/k,...,1/k).

[MissJenny]

ah oui en effet. Je vois bien intuitivement que l'angle entre la première diagonale et le simplexe est un angle droit, mais peut-être que ça demande une démonstration (?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

"p1+...+pk=1" est l'équation d'un hyperplan, le point le plus proche de l'origine est le projeté de l'origine, et par totale symétrie des variables, les coordonnées de ce projeté sont égales.

Cordialement.

[GBZM]

Ça vient tout seul en déceloppant . Je te laisse faire. N'oublie pas que .

[MissJenny]

ok j'ai compris. Merci à vous deux.