Construction de R

[Abdellah7]

Bonjour
IR est le complété de Q: c'est Q "au quel on rajoute toutes les limites des suites de Cauchy".
Ma question : A-t-on bouché "tous les trous" ? C-à-d: reste-t-il des trous dans R au sens où il y en avait dans Q ???
Merci d'avance
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[MissJenny]

regarde du côté de l'analyse non standard.

[Deedee81]

Salut,

Ma question : A-t-on bouché "tous les trous" ? C-à-d: reste-t-il des trous dans R au sens où il y en avait dans Q ???

Comment définis-tu "trou" ? (y compris pour Q)

Par exemple pour Q, si on prend une suite de Cauchy dans Q, elle peut avoir une limite qui n'appartient pas à Q. On peut qualifier ça de trou.
Et donc avec cette définition, R n'a plus de trous.
Mais il faut être sûr de ce que tu entends par trou (mettre des guillemet autour.... ça n'aide pas)

EDIT ah on s'est croisé, désolé

[pm42]

Ou sinon, regarde à "R est complet", c'est à dire qu'on a effectivement bouché tous les trous au sens où il y en avait dans Q effectivement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Abdellah7]

Message #2 j'ai pas bien compris

[Abdellah7]

Message # 5
Pourquoi R est complet ? D'autre façon dans le côté représentation géométrique dans Une droite , existe il des points qui ne sont ni dans Q ni une limite de suite de Cauchy ?

[Deedee81]

Pour l'analyse non standard, elle traite notamment de ces questions.

existe il des points qui ne sont ni dans Q ni une limite de suite de Cauchy ?

Ca dépend comment tu définis la droite. En mathématique n'existe que les choses que l'on défini. Et donc ça dépend des "points" que tu mets dans ta droite.
Par exemple une droite avec des points rationnels a tous ses points dans Q.
Et les droites dans R sont définies avec leurs points de R.
Et si tu définis une droite avec d'autres points alors ils ne sont pas dans R (par exemple une droite de l'espace C², C étant les complexes).
Il y a même de droites pour lesquelles parler de "points" n'a aucun sens (à vérifier mais je crois que c'est le cas pour un espace projectif)

Tel que posée la question est absolument triviale. C'est comme demander "est-ce qu'il y a autre chose que des pommes dans l'ensemble de fruits (sans préciser quels fruits)".

Par exemple, tu peux créer par exemple la "droite complétée" en ajoutant un point à l'infini qui n'est alors pas dans R.

Après avoir utilisé "trou" sans le définir, tu emploies "droite" sans la définir. Faut définir ce que tu utilises, sinon on ne s'en sortira pas.

[Abdellah7]

Est ce que pour chaque nombre irrationnel x, il existe une suite de Cauchy qui a pour limite x ?

[pm42]

Pourquoi R est complet ?

Parce qu'on le construit comme ça.

D'autre façon dans le côté représentation géométrique dans Une droite , existe il des points qui ne sont ni dans Q ni une limite de suite de Cauchy ?

C'est une blague ?
Tu as fait l'effort de lire le message de Deedee81, de regarder ce que veut dire complet, de réfléchir 2 secondes ?

[Abdellah7]

C'est une blague ?
Tu as fait l'effort de lire le message de Deedee81, de regarder ce que veut dire complet, de réfléchir 2 secondes ?

Si tu parle de son message #7 je lui réponds par#8 avant de recevoir #7 . Je crois que j'ai compris
pour répondre à ma question #8: oui parce que par définition on considère que R est le prolongement de Q par les limite de Cauchy . C'est ça ?

[Abdellah7]

J'ai compris qu'il faut définir c'est quoi un trou d'abord.
Si un jour un mathématicien découvre un nouveau genre de trou (autre que les les limite des suite de Cauchy) il peut alors remplir R par ces trous pour avoir un ensemble plus grand que R et contient R ???

[Deedee81]

Est ce que pour chaque nombre irrationnel x, il existe une suite de Cauchy qui a pour limite x ?

Oui, c'est même évident. La suite constante par exemple : x, x, x.....

J'ai compris qu'il faut définir c'est quoi un trou d'abord.
Si un jour un mathématicien découvre un nouveau genre de trou (autre que les les limite des suite de Cauchy) il peut alors remplir R par ces trous pour avoir un ensemble plus grand que R et contient R ???

Ben oui, c'est même déjà le cas, il y a des ensembles "plus gros" que R.

Suffit d'inventer une définition de "trou" (je crois que tu as une vision intuitive de "trou" : mais tu dois t'en débarrasser, les maths ne sont plus une image du monde "réel" depuis très longtemps, c'est une discipline autonome)

- la droite complétée (que j'ai déjà indiqué)
- les complexes (que j'ai indiqué aussi)
- ou l'ensemble des applications de R dans R (carrément de cardinalité plus grande)
et aussi des ensembles avec des trucs "plus petits" ou "plus grands" que les infinitésimaux ou les "infinis " habituels (sais plus le nom : hyperréels ou surréels, à vérifier)

Y a plein de trucs

Et notons que ça peut même être ordonné (tout ensemble à un bon ordre même si on ne peut pas toujours l'expliciter, c'est lié à l'axiome du choix si je ne dis pas de bêtise)

[gg0]

Abdellah7,

tu sembles oublier que ce qu'on veut construire, ce n'est pas seulement un ensemble, mais un ensemble de nombres muni de certaines opérations et relations ayant des propriétés utiles (le "corps complet ordonné archimédien" R). On n'a pas voulu "boucher les trous", on a voulu pouvoir calculer facilement. Et ça a marché, sauf pour les résolutions d'équations, pour lesquelles on a dû prendre un corps plus gros (C), mais au prix de la perte du caractère ordonné archimédien.
Et tu devrais oublier cette fable des "trous", il n'y a pas de trou dans l'ensemble ordonné des rationnels Q, entre deux rationnels, il y en a une infinité d'autres.

Cordialement.

[Deedee81]

Et tu devrais oublier cette fable des "trous"

Pour renforcer ça (outre ce que j'ai dit sur le "monde réel") : un ensemble quel qu'il soit) est juste un "paquet de choses", éventuellement doté d'une structure (ordre, etc...)
Il serait vain d'y voir un trou (exemple : l'ensemble des voitures chez les concessionnaires qui ont de taches de rousseur : ils sont où les trous ?"

Donc à moins d'avoir une définition stricte, les trous n'ont aucun sens. Si on les définis par continuité (et là faut donner une topologie) où les suites de Cauchy, ça se mord la queue et la question n'a plus de sens (ça revient à dire : soit un ensemble sans trou : est-ce qu'il existe d'autres trous).

[Médiat]

Oui, c'est même évident. La suite constante par exemple : x, x, x.....

Euh , ... non, la suite de Cauchy doit être rationnelle (c'est l'esprit de la question). Pour répondre à la question, il y a des tas de réponses, entre autres :
Suite des décimales
Fractions Continues.
Série de Engel.
Séries de Pierce.
Série de Sylvester.
Séries Alternées de Sylvester.
Série de Lüroth.
Séries Alternées de Lüroth.
Série de Knopfmacher.
Produit de Cantor.
Produit Alterné de Cantor.
Produit Négatif de Cantor.
Série Binaire.

[amineyasmine]

"Envoyé par Abdellah7 , Pourquoi R est complet ? "

Parce qu'on le construit comme ça.

non
il n'a pas été construit
il existe et on le découvre pas à pas
d'abord les irrationnels
puis les autres

[Deedee81]

Salut,

Euh , ... non, la suite de Cauchy doit être rationnelle (c'est l'esprit de la question).

Ah oui, gros bêta (c'est moi le gros bêta)

[Deedee81]

il n'a pas été construit
il existe et on le découvre pas à pas
d'abord les irrationnels
puis les autres

Un platonicien, vade retro satanas (tu vas te faire fusiller par Médiat).

Je suis formaliste.

Soit un ensemble d'axiomes (dont les structures). A partir de ces axiomes tu peux en déduire une tonne de propriétés, de théorèmes....
Certains axiomes peuvent conduire à l'ensemble R.
D'autres axiomes peuvent ne pas y conduire.
Ou conduire à un ensemble en réalité différent (l'hypothèse du continu ou son rejet en est un bon exemple).

L'ensemble R n'existe donc pas au préalable, on ne saurait pas le "'découvrir" ex nihilo.
Ce qu'on découvre c'est les conséquences des axiomes adoptés : ni plus, ni moins.

Et donc si, l'ensemble R est complet parce qu'on l'a construit de manière à avoir un ensemble complet. Il est comme ça PARCE QUE ON LE CONSTRUIT.
Avec d'autres choix d'axiomes on peut ne pas être capable de le construire et même d'en déduire l'inexistence de de cet ensemble.

Ca c'est mon avis mais je le partage : le platonicisme est une plaie en mathématique.

[pm42]

Ca c'est mon avis mais je le partage : le platonicisme est une plaie en mathématique.

Dans le cas présent, je mettrais plutôt ça sur le coup de "je ne connais rien en maths (cf. les nombreux fils qui le prouve) mais je raconte ce qui me passe par la tête comme si c'était vrai parce que je n'ai pas le début d'un commencement d'humilité intellectuelle".
Parler de platonicisme suppose une forme de pensée structurée et une connaissance de ce qui a déjà été dit sur l'existence vs la construction, etc.

[Deedee81]

Dans le cas présent, je mettrais plutôt ça sur le coup de "je ne connais rien en maths (cf. les nombreux fils qui le prouve) mais je raconte ce qui me passe par la tête comme si c'était vrai parce que je n'ai pas le début d'un commencement d'humilité intellectuelle".
Parler de platonicisme suppose une forme de pensée structurée et une connaissance de ce qui a déjà été dit sur l'existence vs la construction, etc.

T'es dur (mais tu as probablement raison) Mais j'aurais tendance justement à croire (ça reste à prouver) que ceux qui n'y connaissent pas grand chose sont plutôt platoniste (car la seule expérience qu'ils ont vient du monde "sensible"). Bon je fais de la psycho de comptoir et on est hors sujet. J'arrête.

[GBZM]

Il y a deux grandes façons de "boucher les trous de " :
- avec les suites de Cauchy, quand on voit comme espace métrique,
- avec les coupures de Dedekind, quand on voit comme ensemble ordonné.
On apprend que ces deux complétions donnent la même chose. C'est vrai dans les ensembles, mais c'est faux dans un contexte un peu plus général : dans le topos des faisceaux sur un espace topologique X (faisceau = famille d'ensembles variant continûment indexée par X), la première complétion donne le faisceau constant tandis que la deuxième donne le faisceau des fonctions continues à valeur dans , ce qui est un objet plus intéressant.

[Médiat]

Bonjour GBZM,
J'ai recensé 33 façons de construire IR, beaucoup d'entre elles sont des variations des suites de Cauchy, je suppose que le faisceau obtenu est le même qu'avec les suites de Cauchy, au moins deux sont des variations sur les coupures de Dedekind, je suppose que le faisceau obtenu est le même qu'avec les coupures de Dedekind, mais je serais curieux de savoir ce qu'il se passe avec les autres, comme :

1. Construction à base de recouvrements
2. Construction de de Bruijn
3. Construction à base de Quasi-endomorphismes

Si vous avez une idée, ne perdez pas de temps pour ce qui n'est que de la curiosité.

[GBZM]

Non, je n'ai pas d'idée. Je ne sais pas si ça a été regardé.

[Médiat]

OK, merci.

[GBZM]

La construction avec des quasi-endomorphismes n'est-elle pas en fait du type suites de Cauchy ? En associant au quasi-endomorphisme f la suite (f(n)/n) pour n>0 ?

[Médiat]

Cela a l'air raisonnable, il faudrait que je vérifie.

[Médiat]

Cela marche très bien pour les entiers et même pour les rationnels, et les suites obtenues sont bien de Cauchy :

[Abdellah7]

Deux questions :
Quelle est la suite de Cauchy qui pour limite pi ?
Quelle est la suite de Cauchy qui pour limite e ?

[Médiat]

Il y en a des tonnes, la plus "naturelle" est sans doute , ce qui se généralise facilement

[GBZM]

Il n'y en a pas qu'une seule, bien sûr.
Je suis sûr que tu connais une suite explicite de rationnels qui converge vers , en utilisant la définition de ce nombre.
Pour , tu peux en (re)trouver une explicite en pensant au développement en série de , par exemple.