Critère de Monge pour les points critiques

[mgtoul]

Bonjour,
Soit f une fonction de classe sur un ouvert U de .
Pour déterminer les points critiques de , on commence par résoudre le système puis on calcule la matrice Hessienne de f en un point critique .
La matrice Hessienne étant symétrique, elle est diagonalisable dans une base orthonormée de . La trace et le déterminant étant des invariants par changement de base, on a alors que le déterminant de la matrice Hessienne est égal au produit de ses valeurs propres et que sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres. Donc si le déterminant est strictement positif, cela signifie que les deux valeurs propres sont non nulles et de même signe donc le point critique est un extremum local. Si la trace est positive (resp. négative) alors les valeurs propres sont positives (resp. négative) et donc on a un minimum local (resp. maximum local).

Ce que je ne comprends pas dans le critère de Monge : le critère de Monge ne regarde que le signe de la dérivée partielle seconde de f par rapport à x (coefficient de la matrice Hessienne) et non la trace. Pourquoi a-t-on nécessairement du même signe que . En effet c'est la trace (soit la somme) qui est invariante; pas les coefficients.

Merci.
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[GBZM]

Bonjour,
On a un extremum local en un point critique si la matrice hessienne est définie positive (minimum) ou définie négative (maximum), c.-à-d. si la forme quadratique qu'elle représente est définie positive (pour tout vecteur non nul, ) ou définie négative (remplacer par ).
Si on sait déjà que le déterminant est strictement positif, alors est définie et comme où est le premier vecteur de base, on voit que est définie positive si et définie négative si ; on ne peut pas avoir . On aurait pu d'ailleurs tout aussi bien prendre .

[GBZM]

De manière générale, une matrice symétrique réelle de taille n est définie positive si et seulement si ses n mineurs principaux dominants (construits sur les i premières lignes et colonnes pour i allant de 1 à n) sont tous strictement positifs.

[mgtoul]

Bonjour,
Je pose où est un point critique de .
Je sais que donc que est inversible.
Si alors je peux dire que est dans l'orthogonal de mais comment en déduire que et donc que est définie ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Je ne comprends pas bien ta question. Il n'y a aucune raison pour qu'une matrice symétrique réelle de taille 2 de déterminant non nul soit définie. Tout bêtement, prends . Par contre, si le déterminant est strictement positif, alors les deux valeurs propres de la matrice sont de même signe, et donc la matrice est bien définie.(positive ou négative suivant le signe de la trace ou le signe d'un des coefficients diagonaux).

[mgtoul]

OK donc si on prend une base orthonormée de vecteurs propres associés aux valeurs propres (ce qui est possible car la matrice est symétrique) et si alors équivaut à .
Dans le cas où les deux valeurs propres sont non nulles et de même signe (dans le cas où ), équivaut à et donc à (d'où M est définie).

[mgtoul]

Maintenant si on veut savoir de quel signe constant est il suffit de l'évaluer en un vecteur particulier, on peut par exemple prendre X=(1,0) et . D'où le fait que les valeurs propres sont strictement positives si et strictement négatives si .

[GBZM]

Ben oui, c'est ce que j'expliquais le 29/9 à 14h32.