Bonjour,
Soit f une fonction intégrable sur I et continue par morceaux. On a déjà montré que f n'admet pas de limite en + l'infini en prenant le contre exemple de la fonction tente. Je bloque sur ces deux questions :
Maintenant on suppose que f admet une limite en + l'infini, montrer que celle-ci est nulle. Et enfin, on suppose f décroissante et positive, montrer que f est un petit o de 1/x quand x->+l'infini.
Pour la premiere, mon prof m'a dit de m'intéresser à l'intégrale de x à x+1 de f. Donc on peut dire que :. L'intégrale du membre de gauche tend vers l lorsque x tend vers + l'infini (ceci se voit sur un dessin, mais je ne sais pas si on doit le montrer). Pour le membre de droite, je ne vois pas.
Pour la deuxième question, je prends t dans [x,x+1], j'encadre f(x+1)<= f(t) <= f(x), je multiplie par x : xf(x+1)<= x f(t) <= xf(x) et j'intègre entre x et x+1. Je passe à la limite mais cela ne donne rien :/ Faut-il sommer ?
Merci d'avance.
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