Bonjour à tous,
Je suis en train de démontrer que la fonction f : (x,y) --> (x^2y , xy^3) est différentiable.
J'ai montré via les dérivées partielles (qui existent et son continues) que f est différentiable, et on a :
df(x,y).(h,k) = h(2xy, y^3) + k(x^2, 3xy^2)
J'essaye maintenant de montrer que f est différentiable via la définition.
Je calcule f(x+h, y + k) et j'obtiens
f(x+h,y+k) = f(x,y) + h(2xy, y^3) + k(x^2, 3xy^2) + (2hkx + h^2*y+h^2*k, 3xy*k^2 + xk^3 + 3hky^2 + 3hk^2y + hk^3)
J'ai justifié que l'application (h,k) --> h(2xy, y^3) + k(x^2, 3xy^2) est linéaire.
Il me reste à montrer que (2hkx + h^2*y+h^2*k, 3xy*k^2 + xk^3 + 3hky^2 + 3hk^2y + hk^3) est un petit o de la norme de (h,k).
Et là je sèche un peu. Quelle norme serait la plus simple à utiliser ici ? Comment pourrais-je faire ? Merci pour votre aide.
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