comprendre ce que dit la formule du produit de convolution

[cosmoff]

Bonjour à tous,

je sais que le produit de convolution permet de multiplier les aires en communs de 2 fonctions dont une qui "glisse". Mais quand je lis la formule je ne vois pas ca

j'ai 2 fonctions f(x) et g(x), le produit de convolution donne



donc la formule dit :
de -INF à +INF le g(x - t) est totalement décalé vers la gauche et se décale petit a petit vers la droite de dt, c'est donc cette fonction qui "glisse"

donc si je prend un exemple de ce que ca fait en t = [-4; -2]

on a h= ... + f(-4)g(x+4).dt + f(-3)g(x+3).dt + f(-2)g(x+2).dt + ...

que signifie de multiplier une aire infinitésimale : f(-4).dt par toute la fonction g(x+4) ? ca n'a aucun sens pour moi de multiplier une valeur par une fonction, de plus g(x) ne représente pas une aire, bref je comprend rien.


merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

On t'a peut-être donné cette idée "que le produit de convolution permet de multiplier les aires en communs de 2 fonctions dont une qui "glisse" " mais elle est fausse. Et elle t'a envoyé sur des idées sans rapport avec la question.
L'expression "en t = [-4; -2]" n'a pas de sens, et ce que tu fais ensuite n'a aucun rapport avec la formule. t n'est pas un entier, mais la variable d'intégration, un réel. Et une intégrale n'est pas une somme finie. Peut-être serait-il sage, pour toi, de revoir ce qu'est une intégrale.

Il vaut mieux, d'ailleurs, ne pas chercher de sens à priori au produit de convolution, de se contenter de voir que, à partir de deux fonctions convenables (*), on obtient une troisième fonction. Et de savoir d'avance que ça va apparaître naturellement dans certaines parties des mathématiques (transformées de Laplace ou de Fourier, probabilités, ...).

Cordialement.

NB : Je connais le produit de convolution depuis 55 ans, je l'ai enseigné pendant des années, je ne sais toujours pas "ce que c'est", en dehors bien sûr, de la définition.

(*) en général, le produit de convolution de deux fonction n'existe pas, l'intégrale diverge.

[gg0]

Je m'aperçoit que j'ai évacué la question du titre : Ce que dit la formule, c'est que le produit de convolution de f par g, noté f*g est la fonction qui associe à x l'intégrale que tu as donnée.

La bonne notation est (f*g)(x), ou par abus f*g(x), et une notation pratique, mais dangereuse pour les débutants est celle que tu as utilisée f(x)*g(x).

[GBZM]

Bonjour,
Effectivement, ce que tu écris n'a aucun sens. Normal que tu ne comprennes pas ceque tu écris. Déjà to écriture ne fait pas sens. C'est .

Prenons un exemple de "fenêtre qui glisse". on prend la fonction qui est la fonction indicatrice de l'intervalle . Autrement dit si et sinon.
Alors

(la dernière égalité s'pbtient par le changement de variables ).
La convolution a consisté ici à remplacer par la moyenne de sur l'intervalle de largeur 1 centré en (la "fenêttre" qui glisse), ce qui a pour effet de "lisser" . Ceci n'est qu'un exemple pour illustrer un aspect de la convolution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

@cosmoff
La page wiki illustre bien la notion de moyenne glissante.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_convolution

[MissJenny]

ca n'a aucun sens pour moi de multiplier une valeur par une fonction

et pourquoi pas? L'expression 2 log(x) a un sens, c'est la fonction qui a x associe deux fois le logarithme de x.