cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z
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cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z



  1. #1
    jacknicklaus

    cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z


    ------

    Bonjour,
    Voici l'énoncé d'un exercice qui me pose problème. Contexte : un livre sur la théorie de Galois, chapitre d'ouverture consacré aux méthodes de résolution des équations de degré 2 3 4.
    on pose et

    1) trouver une équation du 2ème degré satisfaite par sur Q[ ]

    2) trouver un polynôme irréductible de degré 3 de Q[X] ayant pour racine
    le 1) est immédiat en développant , on trouve

    Pour le 2), je suis parti de la formule bien connue :



    on a donc et 1 racines de

    en factorisant (x-1) il vient

    ce qui montre que est racine de

    mais cela n'utilise absolument pas le 1), ce n'est donc pas la méthode attendue...

    Je serait très heureux si l'un de vous pouvait me mettre sur la bonne piste...
    merci !

    -----
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  2. #2
    GBZM

    Re : cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

    Bonsoir,

    Tu peux récrire l'équation qui lie et sous la forme . Ça peut aider.
    Ensuite , racine septième de l'unité différente de 1, satisfait une belle équation de degré 6, dont est aussi solution. À partir de cette équation tu peux trouver une équation satisfaite par .

  3. #3
    jacknicklaus

    Re : cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

    bon sang mais bien sûr !



    d'où racine de P(x)


    merci GBZM !
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #4
    aghrayl

    Re : cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

    Pour utiliser la première question

    On peut partir de l'égalité

    $x^2+1=2\alpha x$

    donc:
    $x+\dfrac{1}{x}=2\alpha$

    En élevant au carré

    $x^2+\dfrac{1}{x^2}=4{\alpha}^ 2-2$

    En multipliant les deux dernières équations

    $x^3+\dfrac{1}{x^3}+ 2\alpha=8{\alpha}^3-4\alpha$

    donc :

    $x^3+\dfrac{1}{x^3}=8{\alpha}^ 3-6\alpha$

    En utilisant la formule exponentielle

    $x^3+\dfrac{1}{x^3}=e^{\frac{6 i\pi}{7}}+e^{\frac{-6i\pi}{7}}=-x-\dfrac{1}{x}$


    on obtient l'équation

    $8{\alpha}^3-6\alpha=-2\alpha$
    Dernière modification par Flyingbike ; 30/10/2023 à 06h06.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    jacknicklaus

    Re : cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

    Citation Envoyé par aghrayl Voir le message



    on obtient l'équation

    euh... non.
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  7. #6
    aghrayl

    Re : cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

    Pour utiliser la première question

    On peut partir de l'égalité


    donc:


    En élevant au carré



    En multipliant les deux dernières équations



    donc :



    En utilisant la formule exponentielle




    on obtient l'équation


  8. #7
    GBZM

    Re : cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

    Toujours non.

  9. #8
    jacknicklaus

    Re : cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

    c'est ici que c'est faux :

    Citation Envoyé par aghrayl Voir le message
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