cos(2pi/7) racine d'un polynome de degré 3 à coefficients dans Z

[jacknicklaus]

Bonjour,
Voici l'énoncé d'un exercice qui me pose problème. Contexte : un livre sur la théorie de Galois, chapitre d'ouverture consacré aux méthodes de résolution des équations de degré 2 3 4.

on pose et

1) trouver une équation du 2ème degré satisfaite par sur Q[ ]

2) trouver un polynôme irréductible de degré 3 de Q[X] ayant pour racine

le 1) est immédiat en développant , on trouve

Pour le 2), je suis parti de la formule bien connue :



on a donc et 1 racines de

en factorisant (x-1) il vient

ce qui montre que est racine de

mais cela n'utilise absolument pas le 1), ce n'est donc pas la méthode attendue...

Je serait très heureux si l'un de vous pouvait me mettre sur la bonne piste...
merci !
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[GBZM]

Bonsoir,

Tu peux récrire l'équation qui lie et sous la forme . Ça peut aider.
Ensuite , racine septième de l'unité différente de 1, satisfait une belle équation de degré 6, dont est aussi solution. À partir de cette équation tu peux trouver une équation satisfaite par .

[jacknicklaus]

bon sang mais bien sûr !



d'où racine de P(x)


merci GBZM !

[aghrayl]

Pour utiliser la première question

On peut partir de l'égalité

$x^2+1=2\alpha x$

donc:
$x+\dfrac{1}{x}=2\alpha$

En élevant au carré

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=4{\alpha}^ 2-2$

En multipliant les deux dernières équations

$x^3+\dfrac{1}{x^3}+ 2\alpha=8{\alpha}^3-4\alpha$

donc :

$x^3+\dfrac{1}{x^3}=8{\alpha}^ 3-6\alpha$

En utilisant la formule exponentielle

$x^3+\dfrac{1}{x^3}=e^{\frac{6 i\pi}{7}}+e^{\frac{-6i\pi}{7}}=-x-\dfrac{1}{x}$


on obtient l'équation

$8{\alpha}^3-6\alpha=-2\alpha$

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

on obtient l'équation

euh... non.

[aghrayl]

Pour utiliser la première question

On peut partir de l'égalité


donc:


En élevant au carré



En multipliant les deux dernières équations



donc :



En utilisant la formule exponentielle




on obtient l'équation

[GBZM]

Toujours non.

[jacknicklaus]

c'est ici que c'est faux :