Bonjour,
Dans le monde réel si on me donne des coordonnées (x,y) d'un point dans un repère orthonormé à 2 dimensions, je sais calculer une distance de l'origine à ce point avec la formule d2=x2+y2. Sans savoir en écrire une démonstration formelle je peux m'en convaincre en utilisant le théorème de pythagore.
Dans la théorie des ensembles, un espace vectoriel euclidien à deux dimensions permet de modéliser un plan tel que je me le représente. Un vecteur représente un point. Si le vecteur vaut (x,0) ou (0,y) je peux définir que la distance de l'origine à mon point vaut x ou y. Cela me convient, en particulier la distance de l'origine à (0,x1) + (0,x2) vaut x1 + x2.
Mais comment calculer la distance de l'origine à un point (x,y) avec x!=0 et y!=0 ? Je sais que pour cela on calcule la norme d'un vecteur à l'aide du produit scalaire et de la norme euclidienne. Mais il me semble que les formules pour ce produit scalaire et sa norme ont été choisis de manière à ce que le théorème de pythagore soit vérifié. Je comprends que dans la théorie ensembliste la notion de monde réel n'existe pas, et que donc il faut créer des modèles.
J'espère être assez clair, je suis désolé si ce n'est pas le cas, mais ma question est : "dans la modélisation du plan 2D de notre monde réel à l'aide d'un espace vectoriel euclidien, la définition de la norme d'un vecteur a-t-elle été choisie en se basant sur le théorème de pythagore que nous savons démontrer géométriquement ?"
Et donc démontrer pythagore avec des calculs de produits scalaires ne permet que de vérifier que notre espace vectoriel à 2D respecte bien les propriétés attendues pour modéliser un plan de notre monde réel. Finalement le théorème de pythagore est démontrable parce que nous avons construit l'espace vectoriel euclidien pour cela.
N'hésitez pas à me reprendre si je fais des approximations ou je suis dans l'erreur, j'atteins les limites de mes connaissances.
Cordialement,
Mickaël
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