Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?
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Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?



  1. #1
    mvera31

    Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?


    ------

    Bonjour,

    Dans le monde réel si on me donne des coordonnées (x,y) d'un point dans un repère orthonormé à 2 dimensions, je sais calculer une distance de l'origine à ce point avec la formule d2=x2+y2. Sans savoir en écrire une démonstration formelle je peux m'en convaincre en utilisant le théorème de pythagore.

    Dans la théorie des ensembles, un espace vectoriel euclidien à deux dimensions permet de modéliser un plan tel que je me le représente. Un vecteur représente un point. Si le vecteur vaut (x,0) ou (0,y) je peux définir que la distance de l'origine à mon point vaut x ou y. Cela me convient, en particulier la distance de l'origine à (0,x1) + (0,x2) vaut x1 + x2.

    Mais comment calculer la distance de l'origine à un point (x,y) avec x!=0 et y!=0 ? Je sais que pour cela on calcule la norme d'un vecteur à l'aide du produit scalaire et de la norme euclidienne. Mais il me semble que les formules pour ce produit scalaire et sa norme ont été choisis de manière à ce que le théorème de pythagore soit vérifié. Je comprends que dans la théorie ensembliste la notion de monde réel n'existe pas, et que donc il faut créer des modèles.

    J'espère être assez clair, je suis désolé si ce n'est pas le cas, mais ma question est : "dans la modélisation du plan 2D de notre monde réel à l'aide d'un espace vectoriel euclidien, la définition de la norme d'un vecteur a-t-elle été choisie en se basant sur le théorème de pythagore que nous savons démontrer géométriquement ?"

    Et donc démontrer pythagore avec des calculs de produits scalaires ne permet que de vérifier que notre espace vectoriel à 2D respecte bien les propriétés attendues pour modéliser un plan de notre monde réel. Finalement le théorème de pythagore est démontrable parce que nous avons construit l'espace vectoriel euclidien pour cela.

    N'hésitez pas à me reprendre si je fais des approximations ou je suis dans l'erreur, j'atteins les limites de mes connaissances.

    Cordialement,
    Mickaël

    -----

  2. #2
    GBZM

    Re : Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?

    Bonjour,

    La définition d'un espace vectoriel euclidien, c'est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'une forme quadratique définie positive (le carré de la norme). On a alors une distance qui vient avec : la distance de et est la norme de .
    Le produit scalaire dans l'espace euclidien est la forme polaire de cette forme quadratique : l'unique forme bilinéaire symétrique telle que pour tout vecteur . Deux vecteurs sont dits orthogonaux quand . On démontre alors très facilement que si et sont orthogonaux, alors (Pythagore découle immédiatement des définitions).

  3. #3
    pm42

    Re : Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?

    Citation Envoyé par mvera31 Voir le message
    Si le vecteur vaut (x,0) ou (0,y) je peux définir que la distance de l'origine à mon point vaut x ou y. Cela me convient, en particulier la distance de l'origine à (0,x1) + (0,x2) vaut x1 + x2.
    La distance à l'origine de (0,x1) + (0,x2) n'est pas du tout x1+x2. Si x1=1 et x2=-1 par exemple. Cela vient du fait que la distance à l'origine de (x,0) n'est pas x mais racine(x^2) soit la valeur absolue de x.

    Citation Envoyé par mvera31 Voir le message
    Mais il me semble que les formules pour ce produit scalaire et sa norme ont été choisis de manière à ce que le théorème de pythagore soit vérifié
    On peut créer de nombreuses distances. Celle d'Euclide en est une qui permet de mesurer la distance à vol d'oiseau sans obstacles.
    Il y en a d'autres. Si tu te déplaces en voiture dans Manhattan, la distance n'est pas celle là mais la somme des valeurs absolues des coordonnées, on ne met pas au carré : https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_de_Manhattan

    Par contre, toutes les distance vérifient l'inégalité triangulaire, ce que tu appelles le théorème de Pythagore.

    Quand à ce théorème, il est vérifiable indépendamment de l'existance d'espace vectoriel et beaucoup plus ancien.

  4. #4
    GBZM

    Re : Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?

    "l'inégalité triangulaire, ce que tu appelles le théorème de Pythagore."
    ?????

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    pm42

    Re : Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    "l'inégalité triangulaire, ce que tu appelles le théorème de Pythagore."
    ?????
    Oui, j'ai supposé que le primo-posteur considérait le théorème de pythagore comme un cas très particulier de l'inégalité triangulaire compte tenu des erreurs commises.
    Il est possible que je me sois trompé.

  7. #6
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Le calcul de la disance dans un espace vectoriel euclidien existe-t-il par construction ?

    @Chentouf/Pablo/Anonyme007 : si vous continuez à polluer ce fil, vous prendrez un avertissement. Si vous avez une question, ouvrez un nouveau fil au lieu d'essayer de détourner celui-ci.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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