Bonjour,
Je naviguais récemment sur la page wikipédia consacrée à la notion de séparabilité en topologie https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_s%C3%A9parable et une affirmation m'a pour le moins déconcerté :
Or il me semble par exemple que l'espace muni de la distance issue de la norme sup n'est pas séparable. D'où ma surprise face à la citation précédente. Mon impression est que cela se rapporte à la manière dont on attribue une topologie à ces espaces. J'aimerais donc comprendre quelle est la topologie qui est sous-entendue, par exemple sur , et quelle partie dénombrable pourrait être dense dans ce cas.Tout produit d'espaces séparables indexé par un ensemble ayant au plus la puissance du continu ℭ est séparable (c'est le cas particulier κ = ℵ₀ du théorème de Hewitt-Marczewski-Pondiczery3). L'étape essentielle, pour le démontrer, est de vérifier que ℕ^ℝ est séparable4. En particulier, ℝ^ℝ est séparable.
Pourriez-vous m'éclairer à ce sujet ?
Merci par avance.
-----