Produit d'espaces séparables
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Produit d'espaces séparables



  1. #1
    CyrusSmith

    Produit d'espaces séparables


    ------

    Bonjour,

    Je naviguais récemment sur la page wikipédia consacrée à la notion de séparabilité en topologie https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_s%C3%A9parable et une affirmation m'a pour le moins déconcerté :

    Tout produit d'espaces séparables indexé par un ensemble ayant au plus la puissance du continu ℭ est séparable (c'est le cas particulier κ = ℵ₀ du théorème de Hewitt-Marczewski-Pondiczery3). L'étape essentielle, pour le démontrer, est de vérifier que ℕ^ℝ est séparable4. En particulier, ℝ^ℝ est séparable.
    Or il me semble par exemple que l'espace muni de la distance issue de la norme sup n'est pas séparable. D'où ma surprise face à la citation précédente. Mon impression est que cela se rapporte à la manière dont on attribue une topologie à ces espaces. J'aimerais donc comprendre quelle est la topologie qui est sous-entendue, par exemple sur , et quelle partie dénombrable pourrait être dense dans ce cas.

    Pourriez-vous m'éclairer à ce sujet ?

    Merci par avance.

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : Produit d'espaces séparables

    Bonjour,

    Quand on parle de produit d'espaces topologiques, il est généralement sous-entendu qu'on le munit de la topologie produit, à moins que le contraire soit explicitement mentionné. Pour (muni de la topologie de la convergence simple donc), tu peux regarder les combinaisons linéaires à coefficients rationnels des fonctions caractéristiques d'intervalles rationnels (i.e. les fonctions étages où les hauteurs des étages et les points de discontinuités sont rationnels).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    CyrusSmith

    Re : Produit d'espaces séparables

    La topologie de la convergence simple d'accord ! Merci, c'est à présent clair.

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