sinus hyperbolique (d'où vient le 1/2 dans cette formule ? )

[pachacamac]

Bonjour,

Suite à un post en astrophysique, on m'a fait découvrir cette formule concernant le sinus hyperbolique.

sinh = 1/2 (exp(x) - exp(-x))

Bien que je ne maitrise pas les sinh, je serai curieux de savoir pourquoi celui ou celle qui à trouvé/inventé cette formule à introduit le 1/2 devant l'expression entre parenthèse...

Merci
-----

[Rhopi]

Bonjour,

peut-être une explication ici https://www.bibmath.net/dico/index.p...yperbofcn.html

[GBZM]

Bonjour,,
Le cosinus hyperbolique est défini comme la partie paire de l'exponentielle, et le sinus hyperbolique comme sa partie impaire.
Autrement dit, est pair, impair, et . La formule que tu as citée en découle.

[gg0]

Deux autres "raisons" :
1) Pour toute fonction f définie sur R (*) on peut définir sa "partie paire" f_p et sa partie impaire f_i de façon que f=f_p+f_i :

Évidemment, f_p est une fonction paire, et f_i une fonction impaire. ch est la partie paire de l'exponentielle, sh sa partie impaire.
2) Il existe des formules (dites formules d'Euler) reliant les fonctions trigonométrique et l'exponentielle, en nombre complexes :

et on voit la parenté avec les cos et sin hyperbolique.

Dernière chose : Tu demandes "pourquoi", la réponse évidente est "pourquoi pas" puisqu'il s'agit de la définition.

Cordialement.

(*) ou un intervalle de la forme [-a, a] ou ]-a,a[ (a>0)

[A voir en vidéo sur Futura]

[pachacamac]

Merci, la justification de ce 1/2 m'apparait maintenant clairement.

Tu demandes "pourquoi", la réponse évidente est "pourquoi pas" puisqu'il s'agit de la définition.

En ignorant tout ça, j'avais pensé naïvement que si on définissait sinh comme sinh = (exp(x) - exp(-x) ça aurait plus simple et après en rencontrant un vrai sinh il aurait suffit de le multiplier par 2

[stefjm]

En ignorant tout ça, j'avais pensé naïvement que si on définissait sinh comme sinh = (exp(x) - exp(-x) ça aurait plus simple et après en rencontrant un vrai sinh il aurait suffit de le multiplier par 2

Le 1/2 peut aussi être vu comme le calcul de la valeur moyenne (f1+f2)/2.
Très utile en transformée de Fourier avec les sin, cos, exp (un sinus(t) a deux raies spectrale en +-1) et probablement bien intuitif pour les mécaniciens et la chaînette : https://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEnette