théorème de Cantor Bernstein
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît. Je ne sais pas où commencer.
Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein). Le but de cet exercice est de
démontrer le théorème de Cantor et Bernstein. On se donne donc deux ensembles E et F et
deux applications injectives f:E - > F et g:F - >E.
1. On note E' = f(E) et F' = g(F). L'ensemble F' est donc un sous-ensemble de E.
Expliquer pourquoi g, (resp. f) réalise une bijection de F -> F', (resp f est une bijection de E dans
E'). On note g-1 la réciproque de F' -> F.
2. On va construire une application Q bijective de E dans F'. Pour cela considérons les
ensembles suivants :
Eo=E \F', Er = (go f)(Eo), et par induction, pour n € N, En+1 = (g of)(En). On a donc pour n >1, En = (go f)"(Eo).
gol
(a) Montrer que Eo et Ei; sont disjoints pour tout i>= 1
(b) Montrer que pour tout j >= 0 et pour tout i > =1 les ensembles Ej et Ej+i sont disjoints.
On pourra utiliser pour cela l'injectivité des applications (g o f)^j et la question 2.(a)
(c) Vérifier que l'image de U(n>=0)En par gof est (Un+1)En et que la restriction de gof à U(n+1)En est injective.
(d) On note A l'ensemble (Un>0)En. On définit Q: E -> F' par Q(x) = (go f)(x) si x € A et Q(x) = x sinon. Remarquez que si x
n'appartuent pas a A alors x appartient pas Eo et donc x € F'. On en déduit que pour tout x, Q(x) est un élément de F'. L'application est surjective par
construction.
i. Vérifier que Qest surjective de E -> F'. (Pour un élément y de F', considérez le cas où y appartient à l'image de A par gof et le cas où y n'est pas dans
(g o f)(A). Dans ce dernier cas, y appartient pas a A et donc Q(y) = y. Conclure.)
ii. Montrer que Q est injective de E -> F' et donc bijective.
ii. Que peut-on dire de l'application g-1 o Q? A-t-on démontré le théorème de
Cantor Bernstein? Justifier votre réponse.
3. Un exemple. On considère E =N,F= (n € N:n>2) et
f: E -> F g: F -> E
n -> n+4 n -> n
Déterminer les ensembles En, A= U(n>=0) E,, F' et l'application Q
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