Théorème de Cantor-Bernstein

[invitec3143530]

Bonjour,

Je voudrais savoir si ma démonstration "intuitive" de ce théorème était valable.

Si il existe une injection de E vers F, alors Card E <= Card F (par définition d'une application, chaque élément de E a une image dans F, et avec la condition d'injection, une image ne peut être partagée, il faut donc autant d'images dans F que d'éléments de E, et si il y en a en trop ce ne sera pas grave car on ne cherche pas de surjection)

De même, l'injection de F vers E implique que Card F <= Card E.
Donc Card E= Card F d'où il existe une bijection de E vers F.
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[Médiat]

Bonjour

Je voudrais savoir si ma démonstration "intuitive" de ce théorème était valable.

Si il existe une injection de E vers F, alors Card E <= Card F

Pour avoir une définition correcte du cardinal, il faut l'axiome du choix, que vous utilisez donc en écrivant cela, alors que le théorème de Cantor-Bernstein ne nécessite pas cet axiome.

[invite4ef352d8]

Salut !

le problème de ta démonstration c'est que en invoquant la notion de cardinal tu passe sous silence beaucoup de résultat plus ou moins difficile dont certain sont essentiellement équivalent à cantor-Bernstein. (tout dépend de la facon dont tu défini un cardinal...) (et comme le dit médiat, dont certain utilise l'axiome du choix qui n'est pas nécessaire pour Cantor-Bernstein)

essentiellement, si je te demande "pouquoi si card E >= card F et card E <= card F alors card E = card F ? " parceque par exemple si tu prend une définition de "Card E" comme une (sorte de) classe d'équivalence d'ensemble à isomorphisme près, cette énoncé est exactement le théorème de cantor-bernstein.

[invite97d79020]

Bonjour.

Comme il l'est dit plus haut, la démonstration de ce théorème se fait à partir de notions plus "primitives" que le cardinal.

La lecture de cette démonstration (pas évidente) est très instructive, d'autant que, si je me souvient bien, une bijection est construite explicitement à partir des deux injection( Euh...Corrigez moi, je n'ai qu'un souvenir flou) ce qui est plutôt remarquable.

[A voir en vidéo sur Futura]