Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me suis penché sur la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein (sil 'existe une injection de E dans F et une injection de F dans E, alors il existe une bijection de E sur F), mais je n'arrive pas à conclure ; voici le schéma de la démonstration :

D'abord, l'on introduit l'application et l'ensemble .

L'on montre que , puis on en déduit que si , alors x admet un unique antécédent par g, que l'on note h(x), ce qui permet de définir l'application suivante, dont il faut montrer qu'elle réalise une bijection de E sur F :

.

Ce que je ne parviens pas à faire, c'est justement montrer que est une bijection ; l'idée doit être de montrer qu'elle est à la fois injective et surjective, mais je ne suis parvenu à montrer que partiellement l'injectivité : j'ai montrer que pour , puis pour , mais il me reste à étudier le cas où et (il y a un quatrième cas, mais c'est le symétrique de celui-ci).

Quelqu'un pourrait-il me donner quelques indices pour terminer l'injectivité et pour montrer la surjectivité ? (à moins qu'il existe une autre méthode ?)

Merci d'avance,
Phys2
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[invite8a80e525]

Bonjour,

il faut que tu montre que est l'ensemble vide.

[Seirios]

J'y avais bien pensé, en raisonnant par l'absurde, c'est-à-dire en supposant qu'il existe un élément dans cet ensemble, mais je n'ai rien trouvé. Je l'ai formulé ainsi : Si , alors , mais je n'ai pas trouvé d'absurdité à en déduire.

[invite8a80e525]

Si si ça marche, il faut faire apparaitre la fontion pour se servir de

Soit .
On a:
donc
donc
donc
donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Effectivement, je suis passé à côté, je n'avais pas pensé à réutiliser le résultat . D'ailleurs, le résultat me permet de terminer ma démonstration de l'injectivité, mais on a de plus , et on en déduit le résultat , qui me permet de montrer la surjectivité. Merci à toi

[invite8a80e525]

De rien,

le truc dans cet exo, c'est que la seule chose qu'il faut savoir sur , c'est que .
On peut faire l'exo sans avoir l'expression explicite de en utilisant le théorème de Tarski: toute fonction croissante d'un ensemble vérifiant la propriété de la borne supérieure dans lui-même admet un point fixe, résultat que tu reprouves dans ta démo.

[invite949e0931]

Tu as fais comment pour démontrer que *** Merci de respecter les règles pour les pièces jointes ***

D'autant plus qu'ici, Latex suffit largement