Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

**Seirios** · 26/09/2009, 16h06

Bonjour à tous,

Je me suis penché sur la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein (sil 'existe une injection de E dans F et une injection de F dans E, alors il existe une bijection de E sur F), mais je n'arrive pas à conclure ; voici le schéma de la démonstration :

D'abord, l'on introduit l'application $\psi \ : \ \{ \array{ \mathcal{P}(E) & \to \mathcal{P}(E) \\ A & \to E - \left( g \left( F -f(A) \right) \right) }$ et l'ensemble $\Omega = \cap_{k \in \mathbb{N}} \psi^k(E)$ .

L'on montre que $\psi(\Omega)=\Omega$ , puis on en déduit que si $x \in E \ \Omega$ , alors x admet un unique antécédent par g, que l'on note h(x), ce qui permet de définir l'application suivante, dont il faut montrer qu'elle réalise une bijection de E sur F :

$\phi \ : \ \{ \array{ E & \to F \\ x & \to \{ \array{ f(x) \ si \ x \in \Omega \\ h(x) \ si \ x \notin \Omega}}$ .

Ce que je ne parviens pas à faire, c'est justement montrer que $\phi$ est une bijection ; l'idée doit être de montrer qu'elle est à la fois injective et surjective, mais je ne suis parvenu à montrer que partiellement l'injectivité : j'ai montrer que $\phi(x)=\phi(x') \Rightarrow x=x'$ pour $x,x' \in \Omega$ , puis pour $x,x' \in \Omega$ , mais il me reste à étudier le cas où $x\in \Omega$ et $x'\notin \Omega$ (il y a un quatrième cas, mais c'est le symétrique de celui-ci).

Quelqu'un pourrait-il me donner quelques indices pour terminer l'injectivité et pour montrer la surjectivité ? (à moins qu'il existe une autre méthode ?)

Merci d'avance,
Phys2

invite8a80e525 · 26/09/2009, 16h43

Bonjour,

il faut que tu montre que $g^{-1}(E- \Omega) \cap f(\Omega)$ est l'ensemble vide.

**Seirios** · 26/09/2009, 20h14

J'y avais bien pensé, en raisonnant par l'absurde, c'est-à-dire en supposant qu'il existe un élément dans cet ensemble, mais je n'ai rien trouvé. Je l'ai formulé ainsi : Si $x\in (E-\Omega) \time f(\Omega)$ , alors $\exist (y,y')\in (E-\Omega) \time \Omega \ | \ x=h(y)=f(y')$ , mais je n'ai pas trouvé d'absurdité à en déduire.

invite8a80e525 · 26/09/2009, 23h41

Si si ça marche, il faut faire apparaitre la fontion $\Psi$ pour se servir de $\Psi(\Omega)=\Omega$

Soit $x \in f(\Omega)$ .
On a: $x \notin F -f(\Omega)$
donc $g(x) \notin g(F -f(\Omega))$
donc $g(x) \in E- g(F -f(\Omega))=\Psi(\Omega)=\Omega$
donc $g(x) \notin E-\Omega$
donc $x \notin g^{-1}(E-\Omega)$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 27/09/2009, 10h54

Effectivement, je suis passé à côté, je n'avais pas pensé à réutiliser le résultat $\psi(\Omega)=\Omega$ . D'ailleurs, le résultat $g^{-1}(E-\Omega) \cap f(\Omega)=\emptyset$ me permet de terminer ma démonstration de l'injectivité, mais on a de plus $g^{-1}(E-\Omega)=g^{-1}(E-\psi(\Omega))=F-f(\Omega)$ , et on en déduit le résultat $g^{-1}(E-\Omega)\cup f(\Omega)=F$ , qui me permet de montrer la surjectivité. Merci à toi

invite8a80e525 · 27/09/2009, 12h50

De rien,

le truc dans cet exo, c'est que la seule chose qu'il faut savoir sur $\Omega$ , c'est que $\Psi(\Omega)=\Omega$ .
On peut faire l'exo sans avoir l'expression explicite de $\Omega$ en utilisant le théorème de Tarski: toute fonction croissante d'un ensemble vérifiant la propriété de la borne supérieure dans lui-même admet un point fixe, résultat que tu reprouves dans ta démo.

invite949e0931 · 20/09/2015, 16h17

Tu as fais comment pour démontrer que *** Merci de respecter les règles pour les pièces jointes ***

D'autant plus qu'ici, Latex suffit largement

Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

Discussions similaires

Théorème de Cantor

Démonstration de théorème

démonstration du théorème de Sylow

théorème de Bernstein

Démonstration de théorème