Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 7 sur 7

Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein



  1. #1
    Seirios

    Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein


    ------

    Bonjour à tous,

    Je me suis penché sur la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein (sil 'existe une injection de E dans F et une injection de F dans E, alors il existe une bijection de E sur F), mais je n'arrive pas à conclure ; voici le schéma de la démonstration :

    D'abord, l'on introduit l'application et l'ensemble .

    L'on montre que , puis on en déduit que si , alors x admet un unique antécédent par g, que l'on note h(x), ce qui permet de définir l'application suivante, dont il faut montrer qu'elle réalise une bijection de E sur F :

    .

    Ce que je ne parviens pas à faire, c'est justement montrer que est une bijection ; l'idée doit être de montrer qu'elle est à la fois injective et surjective, mais je ne suis parvenu à montrer que partiellement l'injectivité : j'ai montrer que pour , puis pour , mais il me reste à étudier le cas où et (il y a un quatrième cas, mais c'est le symétrique de celui-ci).

    Quelqu'un pourrait-il me donner quelques indices pour terminer l'injectivité et pour montrer la surjectivité ? (à moins qu'il existe une autre méthode ?)

    Merci d'avance,
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    Forhaia

    Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

    Bonjour,

    il faut que tu montre que est l'ensemble vide.

  3. #3
    Seirios

    Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

    J'y avais bien pensé, en raisonnant par l'absurde, c'est-à-dire en supposant qu'il existe un élément dans cet ensemble, mais je n'ai rien trouvé. Je l'ai formulé ainsi : Si , alors , mais je n'ai pas trouvé d'absurdité à en déduire.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    Forhaia

    Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

    Si si ça marche, il faut faire apparaitre la fontion pour se servir de

    Soit .
    On a:
    donc
    donc
    donc
    donc

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Seirios

    Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

    Effectivement, je suis passé à côté, je n'avais pas pensé à réutiliser le résultat . D'ailleurs, le résultat me permet de terminer ma démonstration de l'injectivité, mais on a de plus , et on en déduit le résultat , qui me permet de montrer la surjectivité. Merci à toi
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. #6
    Forhaia

    Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

    De rien,

    le truc dans cet exo, c'est que la seule chose qu'il faut savoir sur , c'est que .
    On peut faire l'exo sans avoir l'expression explicite de en utilisant le théorème de Tarski: toute fonction croissante d'un ensemble vérifiant la propriété de la borne supérieure dans lui-même admet un point fixe, résultat que tu reprouves dans ta démo.

  8. #7
    Moonx1

    Re : Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein

    Tu as fais comment pour démontrer que *** Merci de respecter les règles pour les pièces jointes ***

    D'autant plus qu'ici, Latex suffit largement
    Dernière modification par Médiat ; 20/09/2015 à 16h27.

Discussions similaires

  1. Théorème de Cantor
    Par Médiat dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 17/02/2009, 16h22
  2. Démonstration de théorème
    Par invite25dbd6c7 dans le forum Électronique
    Réponses: 7
    Dernier message: 28/05/2007, 19h35
  3. démonstration du théorème de Sylow
    Par invitea77054e9 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 23/04/2006, 09h36
  4. théorème de Bernstein
    Par invite986312212 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 17/03/2006, 11h09
  5. Démonstration de théorème
    Par bbdoll dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 51
    Dernier message: 08/03/2006, 16h14