Ensemble sans somme... Ou presque

[Alphasaft]

Bonjour,

Je sais qu'il existe un nombre plutôt élevé de résultat sur les parties sans somme d'un groupe abélien (pour Z typiquement, dénombrement asymptotique de ces parties, minoration du cardinal maximal d'une telle partie, etc).
Je me demandais s'il y avait de telles ressources (articles de recherches etc, il me faut surtout un point de départ) pour la problématique suivante : Si (G,+) est un groupe abélien fini (en pratique, Z/nZ me suffit par le théorème de structure des groupes abéliens de type fini), peut-on expliciter/minorer de manière intéressante/etc les cardinaux de A et B parties de G disjointes telles que la restriction de + à A x B soit injective ?
Je n'ai absolument pas besoin d'un article détaillant tout, et de simples pistes (concrètes) de recherches me suffiraient très amplement.

Merci d'avance !
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[MissJenny]

peut-on expliciter/minorer de manière intéressante/etc les cardinaux de A et B parties de G disjointes telles que la restriction de + à A x B soit injective ?

je suppose que tu voulais dire majorer ?

[Alphasaft]

Je précise d'ailleurs que je veux |A| = |B|, pardon.
Non, minorer le cardinal maximal, pardon de ne pas avoir été assez clair. Autrement dit, pouvoir dire "il existe une solution (A, B) tq |A| = |B| >= k(n)".
Mais une majoration ne m'intéresse pas tellement, surtout étant donné qu'il en existe une très simple (à savoir racine de n) qui me satisfait pour le moment.

[gg0]

Bonjour.

Il existe aussi une minoration très simple. Donc ton problème ne semble pas être une minoration, mais plutôt une approximation par défaut suffisamment proche pour t'être utile.
Malheureusement je ne connais pas ce sujet assez spécialisé. Je te souhaite qu'un tel spécialiste passe par là. En attendant, détailler ton projet pourrait lui servir. J'imagine que tu as regardé ce que ça donne pour les Z/nZ avec n petit.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alphasaft]

Certes.
Oui, j'ai déjà essayé, calculé pour n petit, mais pour l'instant il n'y a pas de motif qui semble émerger. Je vais probablement coder quelque chose, dans l'espoir que quelque chose d'intéressant apparaisse. J'ai aussi tenté de voir dans Z/pZ (peut-être que quelque chose allait apparaître avec la cyclicité du groupe des inversibles), mais là non plus rien de très intéressant.

Je reformule la problématique ici, dans l'espoir que ce soit plus clair :
Soit p un premier, n un entier naturel, A et B deux parties de Z/(p^n)Z, telles que |A| = |B|
Le couple (A,B) est dit à somme injective si la restriction de + à A x B est injective.
Peut-on donner une bonne approximation (si possible vraie tout le temps, pas uniquement asymptotique) du plus grand k tel qu'un tel couple existe, avec |A| = |B| = k ?

Je vais continuer mes recherches de mon coté, un grand merci pour vos réponses.

[gg0]

As-tu testé les valeurs pour n=2, 3, 4, .. avec OEIS, l'encyclopédie des suites ?

[MissJenny]

tiens, je t'ai trouvé une référence : le livre de Richard Guy "unsolved problems in number theory". Il y est question d'un problème différent mais proche : pour tout n>0 quel est le plus grand entier l tel que quels que soient les entiers naturels a1,...,an, on peut toujours trouver une sous-suite de longueur l tels que la somme de deux d'entre eux ne soit pas dans la suite initiale. Apparemment ce problème était ouvert en 1994 mais il y a de la bibliographie.

[Alphasaft]

Un immense merci ! Je lirai ça ce soir.
Quand au l'OEIS, non, il faut que j'y fasse un tour.

[Alphasaft]

Mise à jour : Il se trouve que ce problème précis (ou plutôt, très très proche, puisqu'on prend A = B) existe, a beaucoup été étudié et toujours pas résolu. Il s'appelle le problème des suites de Sidon... Et était posé quelques pages après dans ce même ouvrage. Un grand merci, donc !