Crochet de Lie et intuition de la dérivée covariante

[theophrastusbombastus]

Bonjour à tous et joyeux noël !!

Me replongeant dans mes cours de fac (les études remontant à un petit moment) j'essaye de retrouver certaines intuitions et de réapprendre certains sujets, en l'occurrence la géométrie différentielle :

Soit deux champs de vecteurs et , je souhaiterais savoir si les développements suivants sont justes ou identifier les notions qu'il me manquerait.

Prenons et , nous pouvons voir l'action du champs sur comme (oui ?).

D'un autre coté, en regardant differentes formules concernant la dérivée de Lie j'ai l'impression que l'on peut écrire (des conditions particulières, égalité fausse ou toujours vraie ?).

Si l'on prend un espace euclidien classique (pas de courbure, torsion, ...) la dérivée précedement écrite peut se developper en ce qui semble donner :
et je ne retrouve pas mon développement du début.

Je sens qu'il y a un souci sur mais sans savoir comment repérer à quel moment du développement je rate une hypothèse ou un élément de compréhension... si une âme charitable pouvait m'indiquer quoi chercher ou qu'est ce qu'il me manque comme élément de compréhension je suis preneur !
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[MissJenny]

bonjour, ce que tu notes X(Y) c'est la composée XoY ?

[theophrastusbombastus]

Bonsoir,

je pense, j'ai essayé d'interpréter ce que j'ai vu sur pages du type crochet de Lie, je n'ai pas saisi s'il s'agissait d'une composition ou littéralement d'une multiplication (en décrivant sur une base covariante pour laquelle la dérivée "s'applique" à en lisant ... si jamais la bonne lecture est celle ci c'est que je dois creuser l'écriture de la base covariante, mais j'aurais "préféré" pouvoir le lire "X appliqué à Y")

En vous priant d'excuser mon approche naïve,

Cordialement,

[jean23]

Bonsoir
Pour le crochet de Lie [X,Y], je trouve (-x^2, y^2)
avec [X,Y] = X o Y - Y o X

[A voir en vidéo sur Futura]

[jean23]

Bonsoir
Pour la dérivée covariante de Y par rapport à X, je trouve moi aussi (x^2,2y^2)

[jean23]

Pour X(Y) et Y(X), je n'ai pas le même résultat que toi