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Formule oubliée lors de la diagonalisation



  1. #1
    Soliman

    Formule oubliée lors de la diagonalisation


    ------

    Bonsoir !

    Encore une petite question lol

    Matrice initiale : A (symétrique : 3*3)
    Matrice identité : I

    J'ai commencé à calculer des valeurs propres grâce à cette formule (L=Lambda) : L1 * L2 * L3 = Det (A-LI)

    J'ai ainsi trouvé deux valeurs propres sur trois.

    Je me rappelle d'une formule pour trouver la troisième valeur propre en passant par cette méthode. Voici la formule : L1 + L2 + L3 = ??? (voici le problème)

    Est-ce que quelqu'un se rappelle de la fin de cette formule qui permettra plus tard de diagonaliser ma matrice A ?

    Merci beaucoup,
    Sami

    -----

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  4. #2
    gothal

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Salut,
    Je pense que la formule que tu cherches est:
    L1 +L2 +L3= somme des coefficients diagonaux de la matrice non diagonalisée
    On parle d'invariance de la trace d'une matrice.

  5. #3
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Ok Gothal, c'est bon maintenant

    Merci à toi,
    Sami

  6. #4
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Encore une petite question

    J'ai déterminé un polynôme : -6L^2 + 11L - 6
    (L : Lambda) mais ce polynome n'a pas de racines !
    (Delta négatif).

    Dans ce cas, comment trouver les valeurs propres ?

    J'ajoute que dans l'énoncé, le prof nous donne directement les vecteurs propres, a t-il fait exprès ?

    Merci,
    Sami

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  8. #5
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Pour préciser la matrice de départ est: 3 -2 -1
    2 -1 -2
    -2 2 4
    voili ct pour préciser. Merci à tous

  9. #6
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Je réécris la matrice :

    |3 -2 -1|
    |2 -1 -2|
    |-2 2 4|

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  11. #7
    Gwyddon

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation


    Bonjour,

    Ce serait bien que la prochaine fois la thématique de la rubrique soit respectée, la diagonalisation c'est plutôt de l'après-bac...

    Pour la modération,

    Gwyddon
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #8
    Scorp

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Tu ne parle plus de ta matrice A du début, si ? Et puis à quoi correspond ton polynome -6L^2 + 11L - 6 ? Ce n'est pas un polynome caractéristique car il devrait être de degré 3 (peut être un polynome annulateur ?). Si tu veux diagonaliser ta matrice, il faut donc que tu chercher les racines du polynomes caractéristique (ou n'importe quelle autre méthode pour trouver les valeur propre). En tout cas, j'ai fais le calcul et sauf erreur on trouve 3 racines réelles.

  13. #9
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Gwyddon désolé, si tu peux déplacer le topic dans le forum des Mathématiques supérieurs, il n'y a aucun soucis, je n'étais pas sur qu'il s'inscrivait dans ce forum !

    Quant à Scorp, oui, je parle de la matrice de départ A. Le polynome était au départ L^3 -6L^2 + 11L - 6 mais j'ai supprimé le Lambda de degrès trois via cette formule :
    L1 * L2 * L3 = Det (A - LI)

    Et en fait, c'est une grosse annerie lol !

    OKi l'ami, alors comment résoudre ce polynome de degrès trois car je sais qu'il faut passer par Tr il me semble, mais si tu as d'autres méthodes plus rapides, je suis à l'écoute

    Bonne nuit,
    Sami

  14. #10
    Lagoon

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    1 est racine évidente du polynome, donc il se factorise par (L-1). Après il nous reste juste un polynome du second degré donc aucun soucis !

  15. #11
    Scorp

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    Quant à Scorp, oui, je parle de la matrice de départ A.
    Au départ, tu dit que ta matrice est symétrique. Or celle que tu nous donne au post #5 et #6 ne l'est pas.

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    Le polynome était au départ L^3 -6L^2 + 11L - 6 mais j'ai supprimé le Lambda de degrès trois via cette formule :
    L1 * L2 * L3 = Det (A - LI)

    Et en fait, c'est une grosse annerie lol !

    OKi l'ami, alors comment résoudre ce polynome de degrès trois car je sais qu'il faut passer par Tr il me semble, mais si tu as d'autres méthodes plus rapides, je suis à l'écoute
    Pour la recherche de valeur propre, commence toujours par regarder su tu n'a pas des valeur évidente : par exemple 0 (matrice non iversible) etc... Ensuite, tout dépend de la matrice que tu as. Le polynome caractéristique peut parfois être long a calculer. La méthode utilisant le déterminant et la trace (voir même la trace de la comatrice il me semble, mais les calcul risque d'être plutôt lourd) tu pourra obtenir que 2 valeur propre (3 avec la trace de la commatrice). On utilise donc det et Tr quand on connais toutes les valeurs propres sauf deux (d'ailleurs tu fais une grosse erreur depuis le début : L1*L2*L3=det(A) et non pas det(A-LI) comme tu l'a dit plusieur fois). Bref, il faut faire un peu au cas par cas et essayer de voir quel méthode sera la plus rapide.
    Pour ce qui est de ton polynôme caractéristique, d'après mes calcul il a l'air bon au signe près. Normalement, un polynome caractéristique d'une matrice 3*3 doit commencer par mais bon, ca change pas grand chose. Pour trouver les racines de ce polynome de degré 3, essaye de le factoriser. Lagoon t'a donné un indice qui devrait beaucoup t'aider.

  16. #12
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Lagoon, Scorp,

    J'ai suivi vos conseils mais je ne sais pas si ma démarche pour diagonaliser une matrice d'ordre 3 est bonne. Dans tous les cas, j'espère que cela pourra dépanner d'autres internautes car il est difficile de trouver sur la toile des détails simples et précis sur ce sujet.

    I : Matrice identité
    A: Matrice d'ordre 3, carrée et non symétrique
    (désolé pour l'erreur !)
    L: Gamma (l'inconnu)
    Ri:Racine évidente
    D : Delta

    Etapes pour diagonaliser une matrice d'ordre 3



    1/ Soit une matrice A :

    |3 -2 -1|
    |2 -1 -2|
    |-2 2 4|

    2/ En vue de déterminer le polynome caractéristique de ma matrice, je calcule : A - LI

    LI :

    |L 0 0|
    |0 L 0|
    |0 0 L|

    A - LI :

    |1-L -2 -1 |
    |2 -L 2 |
    |0 1 1-L|

    Question : Comment tracer une matrice avec le code laTEX ? Comment écrire la lettre gamma ?

    3/ J'applique ensuite une méthode très spéciale (conçue par Alain Piller) pour déterminer le polynome caractéristique de ma matrice d'ordre 3. Cette méthode consiste à additionner les facteurs diagonaux de ma matrice dans deux sens, et c'est chiant à calculer et impossible à expliquer sans passer par un dessin !

    Question : J'ai lu qu'il existait une autre métode, plus rapide et peut-être plus simple pour déterminer le polynome caractéristique d'une matrice d'ordre 3. Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de la détaillée avec notre exemple ?

    4/ Je trouve le polynome suivant :

    L^3 - 6L^2 + 11L - 6

    Ce polyome a une racine évidente égale à 1 puisque :

    1^3 - 6^2 + 11*1 - 6 = 1 + 11 - 6 - 6 = 0

    5/ Grâce au conseil de Lagoon et à la racine évidente, on peut factoriser ce polynome :

    (L-RI)(aL^2 + bL + c)

    <=> (L-1)(aL^2 + bL + c)
    <=> aL^3 + bL^2 + cL -aL^2 -bL -c
    <=> L^3 (a) + L^2 (b-a) + L (c-b) -c

    6/ On trouve alors :

    b-a = 1
    c-b = 1
    -c = 1

    <=>

    a = -3
    b = -2
    c = -1

    7/ Le polynome caractéristique est donc :

    (L-1)(-3L^2 -2L -1)

    8/ Il ne reste plus qu'a trouver les valeurs propres qui annulent le polynome caractéristique de la matrice d'ordre 3. On a :

    L-1 = 0
    L = 1

    Puis,

    -3L^2 -2L -1 = 0

    C'est du second degrès, on détermine Delta :

    D = b^2 - 4ac
    D = 4 - 4(3)
    D = -12

    Or si D est négatif, le polynome n'admet pas de racines !

    Qu'en conclure ? Où est mon erreur ?

    Merci de m'avoir lu,
    Sami

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  18. #13
    erik

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    6/ On trouve alors :

    b-a = 1
    c-b = 1
    -c = 1
    Bah non,
    L^3 (a) + L^2 (b-a) + L (c-b) -c=L^3 - 6L^2 + 11L - 6
    si
    a=1
    b-a=-6
    c-b=11
    -c=-6

  19. #14
    Scorp

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    Lagoon, Scorp,

    J'ai suivi vos conseils mais je ne sais pas si ma démarche pour diagonaliser une matrice d'ordre 3 est bonne. Dans tous les cas, j'espère que cela pourra dépanner d'autres internautes car il est difficile de trouver sur la toile des détails simples et précis sur ce sujet.

    I : Matrice identité
    A: Matrice d'ordre 3, carrée et non symétrique
    (désolé pour l'erreur !)
    L: Gamma (l'inconnu)
    Ri:Racine évidente
    D : Delta

    Etapes pour diagonaliser une matrice d'ordre 3



    1/ Soit une matrice A :

    |3 -2 -1|
    |2 -1 -2|
    |-2 2 4|

    2/ En vue de déterminer le polynome caractéristique de ma matrice, je calcule : A - LI

    LI :

    |L 0 0|
    |0 L 0|
    |0 0 L|

    A - LI :

    |1-L -2 -1 |
    |2 -L 2 |
    |0 1 1-L|

    Question : Comment tracer une matrice avec le code laTEX ? Comment écrire la lettre gamma ?
    Utilise les balises TEX (va voir cette page pour le langage : http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C...a:Formules_TeX

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    3/ J'applique ensuite une méthode très spéciale (conçue par Alain Piller) pour déterminer le polynome caractéristique de ma matrice d'ordre 3. Cette méthode consiste à additionner les facteurs diagonaux de ma matrice dans deux sens, et c'est chiant à calculer et impossible à expliquer sans passer par un dessin !

    Question : J'ai lu qu'il existait une autre métode, plus rapide et peut-être plus simple pour déterminer le polynome caractéristique d'une matrice d'ordre 3. Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de la détaillée avec notre exemple ?
    Je ne vois pas de quoi tu parle. Le polynôme caractéristique n'est autre qu'un déterminant. Pour une matrice 3*3, il y a donc pas mal de méthode pour le calculer. Par exemple en utilisant la règle de Sarrus (pas terrible par ce que tu va obtenir un polynome non factorisé). Tu peux également simplifier ton déterminant en faisant apparaitre des 0 puis effectuer un dévelloppement selon une ligne ou une colonne. Tu peux également trouver ce polynome directement en cherchant les valeurs propres : soit tu les trouve directement si elles sont évidentes, soit tu utilise la Tr(A), det(A) et Tr(Com(A)). Bref, tu as le choix de la méthode. Tu peux même t'amuser a utiliser des algorithme, genre celui de Souriau ou de Faddeev-Leverier (mais je ne te le conseil pas pour une matrice 3*3 )

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    4/ Je trouve le polynome suivant :

    L^3 - 6L^2 + 11L - 6

    Ce polyome a une racine évidente égale à 1 puisque :

    1^3 - 6^2 + 11*1 - 6 = 1 + 11 - 6 - 6 = 0

    5/ Grâce au conseil de Lagoon et à la racine évidente, on peut factoriser ce polynome :

    (L-RI)(aL^2 + bL + c)

    <=> (L-1)(aL^2 + bL + c)
    <=> aL^3 + bL^2 + cL -aL^2 -bL -c
    <=> L^3 (a) + L^2 (b-a) + L (c-b) -c

    6/ On trouve alors :

    b-a = 1
    c-b = 1
    -c = 1

    <=>

    a = -3
    b = -2
    c = -1

    7/ Le polynome caractéristique est donc :

    (L-1)(-3L^2 -2L -1)

    8/ Il ne reste plus qu'a trouver les valeurs propres qui annulent le polynome caractéristique de la matrice d'ordre 3. On a :

    L-1 = 0
    L = 1

    Puis,

    -3L^2 -2L -1 = 0

    C'est du second degrès, on détermine Delta :

    D = b^2 - 4ac
    D = 4 - 4(3)
    D = -12

    Or si D est négatif, le polynome n'admet pas de racines !

    Qu'en conclure ? Où est mon erreur ?

    Merci de m'avoir lu,
    Sami
    La je ne comprend pas : tu a un polynome de degré 3. Tu as une racine évident qui est 1. Donc tu obtient directement (L-1)(L²-5L+6). Pourquoi utilise tu des inconnues a,b,c pour factoriser (ca se factorise a vu, c'est une méthode très pratique que je peux détaillé si tu as besoin d'aide). Ta factorisation étant mauvaise, le reste est faux (remarque : le polynome de degré 2 dans la factorisation a bien un discrimant positif strictement)

  20. #15
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Ok ok !!!

    Merci Eric, c'était une erreur de concentration.

    Scorp, j'ai réussi à bien factoriser le polynome caractéristique, mais comment le faire "à vu" pour aller plus vite, est-ce l'habitude ou une méthode particulière ?

    Et sinon, quelle était ta méthode (toujours détaillée) pour trouver le polynome caractéristique de cette matrice ?
    Celle de Piller est peu connue, ça ne m'étonne pas.

    Merci,
    Sami

  21. #16
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Lagoon, Scorp,

    J'ai suivi vos conseils mais je ne sais pas si ma démarche pour diagonaliser une matrice d'ordre 3 est bonne. Dans tous les cas, j'espère que cela pourra dépanner d'autres internautes car il est difficile de trouver sur la toile des détails simples et précis sur ce sujet.

    I : Matrice identité
    A: Matrice d'ordre 3, carrée et non symétrique
    (désolé pour l'erreur !)
    L: Gamma (l'inconnu)
    Ri:Racine évidente
    D : Delta

    Etapes pour diagonaliser une matrice d'ordre 3
    (version corrigée 1.1)




    1/ Soit une matrice A :

    |3 -2 -1|
    |2 -1 -2|
    |-2 2 4|

    2/ En vue de déterminer le polynome caractéristique de ma matrice, je calcule : A - LI

    LI :

    |L 0 0|
    |0 L 0|
    |0 0 L|

    A - LI :

    |1-L -2 -1 |
    |2 -L 2 |
    |0 1 1-L|

    3/ J'applique ensuite une méthode très spéciale (conçue par Alain Piller) pour déterminer le polynome caractéristique de ma matrice d'ordre 3. Cette méthode consiste à additionner les facteurs diagonaux de ma matrice dans deux sens, et c'est chiant à calculer et impossible à expliquer sans passer par un dessin !

    4/ Je trouve le polynome suivant :

    L^3 - 6L^2 + 11L - 6

    Ce polyome a une racine évidente égale à 1 puisque :

    1^3 - 6^2 + 11*1 - 6 = 1 + 11 - 6 - 6 = 0

    5/ Grâce au conseil de Lagoon et à la racine évidente, on peut factoriser ce polynome :

    (L-RI)(aL^2 + bL + c)

    <=> (L-1)(aL^2 + bL + c)
    <=> aL^3 + bL^2 + cL -aL^2 -bL -c
    <=> L^3 (a) + L^2 (b-a) + L (c-b) -c

    6/ On trouve alors :

    a = 1
    b-a = -6
    c-b = 11
    -c = -6

    <=>

    a = 1
    b = -5
    c = 6

    7/ Le polynome caractéristique est donc :

    (L-1)(L^2 -5L +6)

    8/ Il ne reste plus qu'a trouver les valeurs propres qui annulent le polynome caractéristique de la matrice d'ordre 3. On a :

    L-1 = 0
    L = 1

    Puis,

    L^2 -5L +6 = 0

    C'est du second degrès, on détermine Delta :

    D = b^2 - 4ac
    D = 25 - 4(6)
    D = 1

    x1 = 2
    x2 = 3

    9/ Nos valeurs propres sont donc :

    L1 = 1
    L2 = 2
    L3 = 3

    10/ Quelle est maintenant la méthode la plus rapide et la plus simple pour trouver les vecteurs propres de ces valeurs propres ?

    Merci de m'avoir lu,
    Sami

  22. #17
    skydancer

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    En regardant ta matrice 2 minutes :
    on remarque que :




    Voila les trois valeurs propres et les vecteurs propres...
    Quelque fois il suffit d'observer unpeu avant de se lancer dans des calculs compliqués.

  23. #18
    skydancer

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Bon j'avoue j'ai regardé la matrice unpeu plus de deux minutes. Ce qui fait que j'ai posté apres la réponse calculatoire...

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  25. #19
    skydancer

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Plus sérieusement, dans 99% des calculs de valeurs propres et de vecteurs propres que l'ont peut trouver dans des exercices, les réponses ne necessitent pas de calcul de polynomes...

    Regardre les colonnes de la matrice, essayez simplement de les additionner entre elles : ici cette méthode a fourni deux des trois valeurs propres et vecteurs propres. Puis en connaissant deux vecteurs propres on sait où chercher le troisieme.... Cela demandent que deux minutes et économise pas mal de papier.

  26. #20
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Ok, merci pour ces informations Skydancer, mais peux-tu avoir l'amabilité de détailler ta méthode qui marche dans 99% des cas, à travers cet exemple ?

    Merciii !

    Sami
    Dernière modification par Soliman ; 29/08/2006 à 15h48.

  27. #21
    Scorp

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Pour ta dernière question, j'ai utiliser Tr(A), det(A) et Tr(Com(A)). Comme j'ai vu que 1 était valeur propre évident, il m'en restait plus que 2 a trouvé. Donc je n'ai utiliser en fait que Tr(A)=1+L1+L2=6 et Det(A)=1*L1*L2=6 (pas besoin de Tr(Com(A)) ici, et heureusement ) et ca m'a donné directe 2 et 3 comme valeur propre. Or je sais que mon polynome caractéristique et -(X-L1)(X-L2)(X-L3) : et voila, le tour est joué (mais comme je t'ai dit, il y a pal mal de méthode pour le trouver)

    CECI EST HORS SUJET ET DECRIT COMMENT FACTORISER UN POLYNOME RAPIDEMENT (cf question de Soliman) :
    Tu peux factoriser a vu un polynome dès que tu as au moins une racine. Cette méthode est rapide et évite bien souvent des erreurs. Elle se base sur une sorte de compensation des termes en de ton polynome. Pour être plus claire, on prend l'exemple de ton polynome caractériqtique dont tu connais une racine : 1
    Tu peux donc mettre (x-1) en facteur et il te reste à trouver un polynome de degré 2 . Il ne sert a rien d'utiliser un système pour trouver a,b,c, ou en tout cas, il se résout de tête. On commence par chercher le nombre a. Pour cela, on se concentre uniquement sur le termen en de ton polynome de départ, c'est-à-dire ici, ba . Tu remarque qu'avec la factorisation , la seul facon possible t'obtenir un le terme est de mettre a=1. Puis tu continu ainsi : tu cherche ensuite le nombre b. Pour ca, tu te concentre sur le terme en x² de ton polynome de départ, c'est-à-dire -6x². Avec ton début de factorisation, tu n'a qu'un seul chois possible pour b. En effet, on en est a . Tu t'apercoit que tu n'a que 2 termes qui vont te fournie du x² : le premier va être -1*x² et l'autre bx*x. Ces deux termes vont être sommer quand tu dévelloppe ton polynome, ce qui va te donner (b-1)x² qui doit être égale à -6x². Tu n'a donc qu'un seul choix pour b : b=-5. Ca parait compliqué, mais c'est très intuitif et très facile à faire de tête : tu regarde combien il te faut de x² : ici il t'en faut -6 et combient tu en a déjà avec ton début de factorisation, ici -1, il faut donc que tu ajoute -5 : c'est ton nombre b. Idem avec c en regardant les termes en x : tu veux 11x et tu en as déjà 5 avec ta factorisation ( : seul (-1)*(-5x) et c*x te donneront des termes en x) Tu en déduit qu'il faut que tu en ajoute +6 : ca te donne ton nombre c : c=6. Tu a déterminé tes 3 coef a,b,c et tu ne t'es pas occupé des termes en constant en . Cela va te permettre de vérifier ta factorisation car tu ne pourra pas compenser comme c'était le cas avant : il n'y a qu'un seul terme qui va te donner des termes consant avec , c'est (-1)*c. Or tu a trouver c=6, donc ton terme constant doit être égale à -6, c'est bien le cas dans ton polynome de départ . Comme ca tombe juste, tu en déduit que ta factorisation est bonne.
    C'est peut être un peu dur comme ca, mais avec un poil d'entrainement, tu factorisera tes polynomes a vitesse grand V de tête et sans aucune erreur. Voila, j'espère que c'est assez clair et que ca t'aidera (pour les autres, désolé pour ce hors sujet qui prend au final pas mal de place)

  28. #22
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Un GRAND merci pour tes détails Scorp.

    Je m'empresse de les lire

    Même si c'est HS, ça aura le mérite de dépanner "quelques" internautes !

    Sami

  29. #23
    skydancer

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    La matrice A est :
    |3 -2 -1|
    |2 -1 -2|
    |-2 2 4|

    on a :




    Puis on remarque rapidement que :




    Voila c'est ca la méthode, il faut regarder les colonnes et additionner.

  30. #24
    skydancer

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    LA méthode ou tu éssaie de "deviner" les vecteurs propres marchent dans la plupart des cas dans la mesure où ce sont des humains qui ne veulent pas trop se casser la tête qui imaginent les exercices.

    Mais c'est sur il vaut mieux quand même savoir diagonaliser une matrice dans le cas général. Mais quand on peut se passer d'une méthode lourde il ne faut pas hésiter.

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  32. #25
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Or je sais que mon polynome caractéristique et -(X-L1)(X-L2)(X-L3) : et voila, le tour est joué (mais comme je t'ai dit, il y a pal mal de méthode pour le trouver)
    Scorp, j'ai bien compris ton explication mais je ne vois pas (encore) pourquoi -(X-L1)(X-L2)(X-L3) qui vaut donc -(X-1)(X-2)(X-3) me permet de trouver les vecteurs propres ? Encore merci pour ta patience ^^

    Skydancer,
    Oki doki, il faut donc faire annuler les x puis les y et enfin les z comme dans un système, mais dans sa tête !

    Je crois même que tu divises la ligne obtenue par un facteur qui te permet dans chaque cas d'obtenir un ou plusieurs "1", qui donne ensuite un vecteur propre à chaque fois.

    Et dans ma matrice d'ordre, comme les valeurs propres sont distinctes, on peut en déduire qu'elle est diagonalisable.

    Encore deux questions pour tout le monde :

    1/ Qui peut me détailler la manière qu'il utilise pour déterminer le polynome caractéristique ?

    2/ Quel est le cas général dans mon exemple qui permet de déterminer les vecteurs propres sans passer par la méthode du calcul mental ?

  33. #26
    Scorp

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Le polynome caractéristique ne te donne accès qu'au valeur propre. Mais il te faut au moins ca avant de chercher les vecteur porpres, ou alors il faut utiliser la méthode de skydancer, mais soit il faut être doué (ce qui n'est pas mon cas) soit avoir de la chance, soit passer des heures à regarder ta matrice.
    Bref, tu as calculé ton polynome caractéristique et il te donne 3 racines qui sont les 3 valeurs propres que tu recherche : 1,2 et 3. Quite a chercher un vecteur porpre, autant tous les trouver, c'est pas plus dur. En somme, il faut que tu trouve le sous espace propre associé à ta valeur propre qui n'est autre que . Pour le trouver, rien de plus simple : tu prend un vecteur v=(x,y,z) puis tu résout ce qui correspond en fait à un système de 3 équation. Par exemple, si on prend la valeur propre 1, on a le système :
    1) 2x-2y-z=0
    2) 2x-2y-2z=0 donc x=y+z
    3) -2x+2y+3z=0 (cette équation sert à rien car on a un système de rang 2)

    1) et 2) te donne x=y et z=0
    Donc ton espace propre associé à la valeur propre 1 est vect(u) avec u=(1,1,0). Il ne te reste plus qu'à faire la même chose pour les autres valeurs propres.

  34. #27
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Ok Scorp !

    Merci pour ce détail au sujet des vecteurs propres, tout rentre dans l'ordre pour la question 2, subsiste encore la question 1 qui était :

    1/ Qui peut me détailler la manière qu'il utilise pour déterminer le polynome caractéristique ?

    Reprenons les pistes énoncées par Scorp en page 1 :

    1- Il suffit d'appliquer la méthode de Sarrus mais celle-ci à l'inconvénient de ne pas factoriser le polynome caractéristique et est plutôt longue.

    1-1 : Je vais essayer d'appliquer cette méthode en attendant que des bonnes volontés m'expliquent les deux autres rescensées que je décris juste après. J'exposerai le détail appliqué à ma matrice si je trouve le bon résultat.

    2- "Tu peux également simplifier ton déterminant en faisant apparaitre des 0 puis effectuer un dévelloppement selon une ligne ou une colonne."

    2-1 : Qui pour faire un détail appliqué à ma matrice ? Mercii !

    3- "Tu peux aussi trouver ce polynome directement en cherchant les valeurs propres : soit tu les trouve directement si elles sont évidentes, soit tu utilise la Tr(A), det(A) et Tr(Com(A))"

    Pour la 3- j'ai compris comment tu trouves Tr(A) et det(A) scorp mais je n'ai pas compris :

    3-1 : Pourquoi tu n'as pas besoin de Tr(Com(A)) ?

    3-2 : Et puis surtout, comment tu passes de -(X-L1)(X-L2)(X-L3) ou +(X-L1)(X-L2)(X-L3) (erreur de signe ?) à la factorisation du polynome caractéristique qui nous permettra de trouver les valeurs propres comme tu le signales dans ta dernière réponse.

    Et les questions n'en finissent jamais lol ?

    Si si, on est proche de la fin là, et ce fut un excellent cours en tout cas, en quelques heures, j'en ai plus appris qu'en plusieurs mois !

    Vous êtes super
    Sami

  35. #28
    Scorp

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    1/ Qui peut me détailler la manière qu'il utilise pour déterminer le polynome caractéristique ?
    On en a déjà donné pas mal. La plus simple reste de développer Det(A-xI) selon une ligne (sans simplification préalable) puis de factoriser

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    Reprenons les pistes énoncées par Scorp en page 1 :

    1- Il suffit d'appliquer la méthode de Sarrus mais celle-ci à l'inconvénient de ne pas factoriser le polynome caractéristique et est plutôt longue.

    1-1 : Je vais essayer d'appliquer cette méthode en attendant que des bonnes volontés m'expliquent les deux autres rescensées que je décris juste après. J'exposerai le détail appliqué à ma matrice si je trouve le bon résultat.
    Oui, a mon avis c'est le plus simple (rappel : Sarrus n'est autre que le dévelloppement direct du déterminant selon une ligne ou une colonne)

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    2- "Tu peux également simplifier ton déterminant en faisant apparaitre des 0 puis effectuer un dévelloppement selon une ligne ou une colonne."

    2-1 : Qui pour faire un détail appliqué à ma matrice ? Mercii !
    En général, c'est plutôt long. A faire que si tu vois des simplifications faciles. L'exemple de ta matrice ne permet pas d'utiliser cette méthode simplement.

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    3- "Tu peux aussi trouver ce polynome directement en cherchant les valeurs propres : soit tu les trouve directement si elles sont évidentes, soit tu utilise la Tr(A), det(A) et Tr(Com(A))"

    Pour la 3- j'ai compris comment tu trouves Tr(A) et det(A) scorp mais je n'ai pas compris :

    3-1 : Pourquoi tu n'as pas besoin de Tr(Com(A)) ?
    Tr(A), det(A) et Tr(Com(A)) te procure chacune une équation à n inconnues (pour une matrice n*n). Tu as donc en tout 3 équations à n inconnues. Cette méthode ne te donnera donc qu'au maximum 3 vp (vp=valeur propre). On l'utilise donc que lorsqu'on qu'on connais n-3 vp et qu'on en chercher encore 3. Pour une matrice 3*3, tu peux donc l'appliquer tout le temps. Utiliser Tr(Com(A)) est un peu lourd, donc en général, on essaye de ne pas l'utiliser. Si on ne l'utilise pas, on aura donc que 2 équations. Pour ta matrice 3*3, ce n'est pas suffisant, il ma manquera une vp. Heureusement pour moi, 1 était vp évidente. Bref : j'ai trouvé 1 comme vp évident, il me reste 2 vp à trouver : je n'utiliser donc que Tr(A) et Det(A) => 2 équations à 2 inconnues : j'aurais trouvé mes 2 vp restante

    Citation Envoyé par Soliman Voir le message
    3-2 : Et puis surtout, comment tu passes de -(X-L1)(X-L2)(X-L3) ou +(X-L1)(X-L2)(X-L3) (erreur de signe ?) à la factorisation du polynome caractéristique qui nous permettra de trouver les valeurs propres comme tu le signales dans ta dernière réponse.
    Oui, il y a une erreur de signe mais qui n'est pas grave pour la rechercher des vp (racines du polynome p et -p sont les même). Pour moi, le polynôme caractéristique à son terme de plus haut degré (donc pour nous ), c'est à dire que pour moi, l'écriture du polynome est -(X-L1)(X-L2)(X-L3)

    Après je n'ai pas compris ta phrase : le polynome caractéristique -(X-L1)(X-L2)(X-L3) est déjà factorise de racines évidente L1, L2 et L3 : se sont donc tes 3 vp.
    par contre, moi j'ai utiliser une méthode un peu différente en utilisant Tr(A) etc... En fait, je trouve les valeurs propres sans avoir besoin de trouver le polynome caractéristique. Ce polynome n'es qu'un aide pour la recherche de vp car les vp sont exactement les racines de ce polynome (au même titre que le polynome minimal). En gros : soit tu cherche le polynome caractéristique et ses racines, et ainsi tu a les vp. Soit tu chercher directment les vp, et tu n'a alors pas besoin de l'expression de ton polynome caractéristique.

    J'espère avoir été clair parce que j'ai peur que plus on en dise, plus ca embrouille les choses. Mais si tu as d'autres question, n'hésite pas

  36. #29
    Soliman

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    Ok, alors tout est presque rentré dans l'ordre !

    Je vais être précis :

    1/ La méthode de Sarrus est une méthode académique à la portée de tous, et peut-être que c'est la meilleure à utiliser dans un examen pour justifier ses calculs, étape par étape.

    2/ La méthode intuitive de Skydancer est très efficace mais nécessite une bonne "vision dans l'espace".

    3/ La méthode que tu as utilisé grâce à Tr(A)=1+L1+L2=6 et Det(A)=1*L1*L2=6 permet de trouver les valeurs propres sans déterminer le polynome caractéristique, à condition que l'on ait une racine évidente (sinon Tr(Com(A)).

    Mais pour appliquer cette dernière méthode, et trouver les deux vp, tu as indiqué deux équations à 2 inconnues que je ne vois pas

    Et par curiosité,

    Comment calcule t-on Tr(Com(A)) ?

    Mercii
    Sami

  37. #30
    Scorp

    Re : Formule oubliée lors de la diagonalisation

    On a bien deux équations avec deux inconnues : a la base, tu cherche trois vp L1, L2 et L3. On a vu que L1=1 étai vp évidente, je n'ai donc plus que deux inconnues L2 et L3. En utilisant la trace et le Déterminant, on a deux équations :
    1) Tr(A)=L1+L2+L3 donc 6=1+L1+L2
    2) Det(A)=L1*L2*L3 donc 6=1*L1*L2
    On a bien deux équations à deux inconnues L2 et L3

    Pour la trace de la Comatrice de A, il suffit de calculer les termes diagonaux de la comatrice de A puis de les sommer. Pour ta matrice 3*3, il faut donc calculer les cofacteurs (tu sais ce qu'est une comatrice [parfois appeller matrice adjointe] ?) , et .
    On a donc =(-1*4-(-2)*2)=0
    =(3*4-(-2)*(-1)=10
    =(3*(-1)-2*(-2))=1
    En sommant ces 3 termes, on obtient Tr(Com(A))=11
    En dim 3, on a Tr(Com(A))=L1*L2+L1*L3+L2*L3
    Pour vérifier : on a trouvé comme vp 1,2 et 3. L1*L2+L1*L3+L2*L3=1*2+1*3+2*3= 2+3+6=11 on retrouve bien la trace de notre comatrice.
    ATTENTION : en dimension n>3, la trace de la comatrice est a une expression plus lourde, il faut donc éviter de l'utiliser pour la recherche de valeur propre.
    Même en dim 3, on n'utilise que très rarement la trace de la comatrice : en 1 an de spé, j'ai du l'utiliser qu'une seul fois, mais ca m'a permis de m'en sortir là ou d'autre n'ont pas réussit.
    Dernier rappel pour éclairsir les choses : en dimension 3, ton polynome caractéristique est :

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