Concentration dans une cascade de n éléments

[mhuur]

Bonjour,

Je travaille dans le traitement des eaux. Mes années de maths sont derrières moi et je me heurte aujourd'hui à un problème que je ne parviens pas à résoudre.
J'utilise n cuves de rinçages successives, dans lesquelles passent des pièces à rincer :
- Les cuves sont alimentées en cascade à un débit constant Q de telle sorte la cuve #n déborde dans la cuve #n-1 au débit Q, et ainsi de suite jusqu'à la cuve #1.
- Les pièces sont trempées tour à tour dans chaque cuves, à commencer par la cuve #1 et en finissant par la cuve #n. Les pièces entrainent avec elles un débit volume q du rinçage précédent.
- Les concentrations C_A, concentration dans le volume q entrainé vers la cuve #1, et C^B concentration dans le débit Q à l'entrée de la cuve #n sont connues.

Présentation1.jpg

Je souhaiterai exprimer :
- Cn en fonction de Cn-1, n, Q et q.
- Cn en fonction de C_A, C_B, n, Q et q

Je suis parti de bilanb massiques sur chaque cuve et sur le système global, mais je ne parviens pas à aller bien loin.

Merci par avance pour votre aide,

Cordialement,
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[gg0]

Bonjour.

Tu parles de concentration, mais de quoi ? S'il s'agit de ce qu'on veut éliminer des pièces, il manque des informations sur les effets du rinçage (éventuellement en fonction de la concentration), le temps de présence dans la cuve, etc.

Cordialement.

[mhuur]

Bonjour,

Tu parles de concentration, mais de quoi ? S'il s'agit de ce qu'on veut éliminer des pièces, il manque des informations sur les effets du rinçage (éventuellement en fonction de la concentration), le temps de présence dans la cuve, etc

- Connaître la composition de l'effluent n'importe pas ici. J'ai défini une concentration C_A d'un élément E donné. Mais si cela peut t'aider à visualer le problème, alors tu peux considérer une solution de NaCl à 20 g/l.
- Il ne manque pas d'information sur les effets du rinçage (égouttage, temps de présence, viscosité ou autre), tout est déjà pris en compte dans le fait qu'à la sortie de chaque cuve, un volume q donné est entrainé vers la cuve suivante.


Cordialement,

[mhuur]

Je me suis peut-être mal exprimé :

- La pièce à rincer entre dans une cuve #1 en entrainant avec elle un volume q de concentration C_A (eventuellement du NaCl à 20 g/l...), soit un flux de matière égal à qC_A.
- La cuve #1 est alimentée par une surverse au débit Q provenant de la cuve #2 à une concentration C₂, soit un flux de matière égal à QC₂
- La cuve #1 déborde vers un exutoire au débit Q à la concentration C₁ soit un flux de matière égal à QC₁
- La pièce rincée sort de la cuve #1 pour aller vers la cuve #2 en entrainant un volume q à la concentration C₁ soit un flux de matière égal à qC₁

C1 pourrait alors être calculée comme suivant (voir photo) :

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En mode régulier, tu as des flux réguliers, indépendants du temps, et de temps à autres le passage d'une pièce, donc dépendant du moment. Donc tu ne peux pas traiter cela indépendamment du temps, et la concentration sera variable dans le temps. À moins que ces variations soient faibles et que l'effet de rinçage de la pièce soit quasi négligeable. Mais comme tu dis "tout est déjà pris en compte dans le fait qu'à la sortie de chaque cuve, un volume q donné est entrainé vers la cuve suivante", tu as donc déjà une étude, et on peut considérer qu'il s'agit de régulation de débits avec un flux supposé constant Q et des flux rétrogrades q. Attention, si un flux q entre dans une cuve, un flux q' en sort. Ton équation n'en a pas tenu compte. Sinon, en l'état de mes connaissances, tu as établi la relation pour la cuve 1, il ne reste qu'à généraliser (voir pour la cuve 2, généraliser aux autres sauf la dernière).

[mhuur]

Bonjour gg0 et merci pour ton message,

Je suis tout à fait d'accord avec toi, c'est effectivement ce qu'il se passe dans la réalité, les débits sont courants alors que les pièces intermittentes, et la concentration est variable dans la cuve en passant par des min et des max. Et tu as là aussi raison, je fais l'hypothèse que ces variations sont faibles et que le volume entrainé par une pièce est constant, aussi avec ces hypothèses :
- q est une constante quelque soit la cuve
- Cn ne dépend pad du temps

En revanche, ici je note q comme étant un débit, ou débit d'entrainement.
- Mon flux entrainé vers la cuve n est alors Fn-1=q*Cn-1 (ou Cn est la concentration dans la cuve #n).
- Mon flux entrainé vers la cuve n+1 est alors Fn=q*Cn (ou Cn est la concentration dans la cuve #n).

Je suis ton conseil, je trouve l'expression de C1 et C2, et j'en déduis Cn :

Cn.jpg

J'applique le raisonnement qui m'avait permis de trouver l'expression de la 1ere cuve, mais cette fois sur la dernière cuve et je trouve alors :

Cn.jpg

Je fais l'hypothèse que j'utilise de l'eau démiénéralisée, et alors CB =0.

Enfin je combine Cn et Cn+1 comme ci dessous :

Demonstration.jpg

et je trouve une expression de Cn. Mais je pense que l'expression est fausse, car la concentration de la 1ère cuve devrait être affectée par le nombre d'étapes de rinçage suivant (ou du nombre de surverse). Or mon expression ne semble pas tenir compte de n...

[gg0]

Tu ne sembles pas avoir tenu compte de ma remarque ("Attention, si un flux q entre dans une cuve, un flux q' en sort) qui concernait les cuves 2 à n-1.

Quant à ton expression qui semble ne pas tenir compte de n, c'est normal, tu n'as pas tenu compte des autres cuves .... Si je dis "2 de plus", ça ne dit pas à combien j'en suis.

[mhuur]

gg0,

Oui je suis d'accord, quand un flux q entre dans une cuve, une flux q' en sort. Mais dans ma notation, q est un débit, non un flux. Le flux est donné par q*Cn, et quand un flux q*Cn entre dans une cuve, un flux q*Cn+1 (ou Cn') en sort, non ?
Pour ta deuxième remarque, je pense comprendre ce que tu dis... donc selon toi je ne peux pas exprimer Cn fonction de n et de Cn-1 dans une même expression, n étant le nombre de cuve composant ma structure de rinçage ?

[gg0]

Ben ... il faut savoir ! Savoir si tu veux C_n en fonction de n, ou C_n en fonction de C_n-1. Ce n'est pas la même question. Et tu sembles avoir répondu à la deuxième.
Pour la première, vu ce que tu écrivais dans le troisième document du message #6, la suite des C_n est géométrique, et en dehors d'éventuels cas particuliers pour C₁ et C_n, l'expression sera simple.
Rappel : Dans une suite géométrique de raison r (donc pour tout i, C_i+1 = r C_i), on a C_k=r^k-1 C₁.

[mhuur]

Bonjour gg0,

Je pense que le problème est plus compliqué. J'ai tenté une application numérique avec la formule à laquelle nous sommes arrivés. La cascade dans son ensemble et pour de l'eau déminéralisée, peut être résumée à :
- une entrée de flux entrainé dans la cuve #1 égal à 500 g/h (q=50 l/h, C0 = 10 g/l).
- une sortie de flux par surverse vers exutoire depuis la cuve #1 égal à : C1*Q
- Une sortie de flux par entrainement depuis la cuve #n égal à : q*Cn

Or, si je fais le bilan des sortants, on ne retrouve pas les 500 g/h, mais 455 g/h...

Présentation1.jpg

Je pense donc que mon raisonnement comporte une erreur :
- La concentration Cn dépend à la fois de l'étape n-1, mais aussi de l'étape n+1 (expression (a) ci-dessous)).
- Nous avons déterminé une forme de Cn+1, qui est la concentration dans le dernier entrainement à la sortie de la structure de rinçage (expression (b) ci-dessous).
- Nous en avons déduis pour la cuve cuve #n l'expression de la concentration Cn en fonction Cn-1. (expression (c))

Présentation1.jpg

Cependant, Cn-1 n'est pas connue... Car l'expression (c) n'est pas une expression générale de Cn en fonction de Cn-1, seulement l'expression de la dernière en fonction de l'avant dernière cuve...
Est-ce que je me trompe ?

Merci

[gg0]

Encore une fois, les cuves initiale et finale n'ont pas le même fonctionnement que les cuves intermédiaires. Tu dois en tenir compte. Donc écrire la formule pour la première, la formule générale pour les cuves intermédiaires, et la formule pour la cuve finale.

[mhuur]

Bonjour gg0,

J'ai suivi ton conseil et résumé l'ensemble des expressions que nous avons dégagé jusqu'ici. Pour autant, je bloque... Chaque terme de la suite dépend à la fois du terme précédent et du terme suivant. Le dernier terme dépend du terme précédent, et le premier terme dépend du terme suivant ! Un vrai casse-tête !

[gg0]

Ça ne va pas. L'avant dernière cuve est une cuve intermédiaire. Et il y a trop de variables. Je ne sais pas qui sont CA et CB, mais on peut espérer que la concentration dans l'eau au début est nulle.
Pas besoin de 50 formules, une pour la première cuve, une pour la dernière et une pour les intermédiaires, ça cerne le problème.

[mhuur]

C_A et C_B, comme mentionné les post #1, 3, 4, 6 de la discussion, sont les concentrations entrainées respectivement vers la 1ère cuve par la pièce (CA) et dans l'eau d'alimentation (CB). Donc oui C_B est nulle si il s'agit d'eau déminéralisée.

Les seules variables sont les Cn. Les q, Q, Ca et Cb sont des constantes depuis le début.

Nous avons ici une expression pour la première cuve, une pour la dernière cuve et une pour les cuves intermédiaires. Pourtant cela ne permet pas de répondre au propblème, ou alors ce n'est évident que pour vous. Si je me trompe, alors c'est que vous êtes capable de répondre à la question suivante :

Données :
Q=100
q = 10
CA= 2
CB = 0

Quelle est la concentration C₃ dans la 3ème cuve de rinçage, la structure de rinçage comportant 5 cuves de rinçage ?

Merci,

Cordialement,

[mhuur]

Bonjour gg0,

Pour information, j'ai résolu mon problème. La bonne indication m'a été donnée sur un autre forum en me fournissant simplement un formulaire sur les suites récurrentes.

https://www.bibmath.net/formulaire/i...oi=suitereclin

Merci cependant d'avoir tenté de m'aider à trouver une solution au problème.

Bonne continuation