Deux projecteurs

**mehdi_128** · 23/02/2024, 15h32

Bonjour,

Je coince sur la question 2. Je n'arrive pas à montrer que $\text{[math]}$ . Je tombe sur une expression compliquée qui ne se simplifie pas.
De plus, faut-il montrer que $\text{[math]}$ ?

Soit $\text{[math]}$ un espace vectoriel.
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux projecteurs de $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ .
1) Montrer que $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ .
Alors il existe $\text{[math]}$
Mais alors $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .
Le résultat en découle.

2) Soit $\text{[math]}$ .
Montrer que $\text{[math]}$ est un projecteur sur $\text{[math]}$ parallèlement à $\text{[math]}$ .

**GBZM** · 23/02/2024, 15h51

Bonjour,
Quand tu calcules $\text{[math]}$ , n'oublie pas que $\text{[math]}$ .

**mehdi_128** · 23/02/2024, 16h03

Merci mais je n'arrive pas à voir pourquoi $\text{[math]}$ .

**GBZM** · 23/02/2024, 16h52

Hum ... Peux-tu expliquer mieux ce que tu as fait pour la première question ?
Normalement, tu as déjà utilisé cette propriété $\text{[math]}$ pour cette question.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 23/02/2024, 17h15

En effet, j'ai oublié une hypothèse fondamentale, $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$

Pour la suite, je dois d'abord montrer que $\text{[math]}$ ?

**gg0** · 23/02/2024, 17h31

Pas nécessairement. Montrer que r projette sur Im(p)+Im(q) est immédiat (soit x dans E, r(x) = ...). Ensuite, tu as besoin simplement de prouver que tout élément de $\ker(p) \cap \ker(q)$ a une image nulle, ce qui est aussi facile. Peut-être aussi faut-il la réciproque ?

Cordialement.

**mehdi_128** · 23/02/2024, 19h16

D'accord merci.
Soit $\text{[math]}$
Alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$
Alors $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$

C'est terminé ?

**gg0** · 23/02/2024, 19h22

La première partie ne traite pas le sujet, qui était de "Montrer que r projette sur Im(p)+Im(q)", donc il faut partir de x dans E.
Pour la deuxième partie, je doute, car je ne sais pas ce que veut dire "parallèlement à ...". Quelle est ta définition de cours ?

**mehdi_128** · 23/02/2024, 19h42

J'ai :
Définition :
Supposons $\text{[math]}$ . L'unique endomorphisme $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est appelé projection sur $\text{[math]}$ parallèlement à $\text{[math]}$ .

Définition :
Une application linéaire $\text{[math]}$ est appelée projection ou projecteur si l'on peut trouver deux sous-espaces vectoriels $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ supplémentaires dans $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit la projection sur $\text{[math]}$ parallèlement à $\text{[math]}$ .

**gg0** · 23/02/2024, 20h42

OK !

Tu as vu, j'imagine, que G=ker p, et si tu regardes bien, que F=Im p (pour tout z de E, z=x+y avec x dans F et y dans G, et p(z) = p(x)+p(y) = x+0 = x; réciproquement, tout x de F est une image puisque x=p(x).
As-tu vu la caractérisation des projecteurs par pop=p ? et qu'alors p projette sur Im p parallèlement à ker p ?

Sinon, dans ton exercice, il te suffit de montrer que Im r = Im p+Im q (ça va prendre 2 lignes, et tu en as déjà fait la moitié, plus le r(x)=x) et que $\ker(p) \cap \ker(q)$ est justement ker(r) (tu as fait la moitié de la preuve).

Cordialement.

**mehdi_128** · 23/02/2024, 21h35

Oui j'ai vu cette caractérisation. Merci !

Montrons que $\text{[math]}$ .
On a déjà vu que $\text{[math]}$ .
Réciproquement, si $\text{[math]}$ on a peut écrire $\text{[math]}$ .
Ainsi $\text{[math]}$ .
On a finalement $\text{[math]}$ .

Montrons que $\text{[math]}$ .
On a déjà vu que $\text{[math]}$ .
Réciproquement, si $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ .
Je n'arrive pas à continuer à ce stade.
J'ai essayé d'utiliser la question 1 mais je ne vois pas comment.

**GBZM** · 23/02/2024, 23h39

Tu vois donc que si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . Que se passe-t-il si tu appliques $\text{[math]}$ des deux côtés de cette égalité ? Et je te laisse deviner la suite ...

**mehdi_128** · 24/02/2024, 10h38

Merci.

On a $\text{[math]}$
On applique $\text{[math]}$ , ce qui donne $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ . Ainsi $\text{[math]}$ d'après la question 1.
D'où : $\text{[math]}$
On a bien montré $\text{[math]}$

**GBZM** · 24/02/2024, 10h51

Oui, on aurait pu aussi appliquer $\text{[math]}$ pour obtenir $\text{[math]}$ , c-à-d. $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Deux projecteurs

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Re : Deux projecteurs

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