Projeté orthogonal

[mehdi_128]

Bonjour,

J'ai des difficulté à calculer l'intégrale dans la question 2. J'ai pensé à une intégration par parties, mais on ne connaît pas le degré de .

On considère le produit scalaire suivant : .
1) Vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire.
2) Calculer pour tout .
3) Déterminer le projeté orthogonale de sur .

1) La forme est évidemment bilinéaire symétrique.
Définie positive :
Si alors donc donc P a une infinité de racines, P est donc le polynôme nul.

2) .
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[Resartus]

Bonjour,
l'intégrale sera une fonction de n=p+q, et on la calcule par parties par récurrence : exprimer celle de x^n.e^(-x) en fonction de celle de x^(n-1)e^(-x, etc.
il y aura une factorielle...

[mehdi_128]

Merci, je me lance dans le calcul !

[mehdi_128]

Je trouve pour la question 2, après une IPP rapide que : .

Pour la question 3, je suppose qu'il faut commencer par normaliser les vecteurs de la base canonique de qui sont .
On utilise le procédé d'orthonormalisation de Schmidt.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Les calculs sont lourds

Notons la base canonique de .
Posons , on a bien
On utilise le procédé d'ortho normalisation de Gram-Schmidt et construire une base orthonormale .

Or
Donc : .

Or : .
Donc : .

Donc

Enfin :

Vérification à l'aide d'un logiciel de calcul en ligne :
ce qui est rassurant !

Par contre, j'ai été imprécis dans la question 1. La fonction polynomiale est nulle sur , donc polynôme admet une infinité de racines, il est donc nul. Comme est intègre, le polynôme P est bien nul.