Détermination équation courbe en "S"

[gg0]

Ce fil devient complétement absurde ! Il y a une courbe non définie au départ, qui est en fait un copier-coller d'une courbe "classique"mais qui ne correspond même pas au phénomène en cause, et ça devient une fonction à trouver. Pour cela chacun décide des valeurs des abscisses puis fait son petit "calcul" qui, évidemment, ne correspond à rien, vu qu'il n'y a rien au départ. mais quel plaisir de montrer "qu'on sait faire" !!
Une remarque mathématique : à partir du moment où on met des tangentes horizontales aux extrémités, la courbe de Gauss ne convient plus !! Mais pourquoi mettre ces tangentes, alors que celle au maximum n'est pas utilisée ??? Ce n'est pas sérieux.

Cordialement.
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[Biname]

Ce fil devient complétement absurde ! Il y a une courbe non définie au départ,

Elle est bien définie dans le msg #1
Sa fonction de répartition est donnée msg #23
Une simple transformation linéaire permet de passer d'écarts-types(5:-3 à 2) pour x en mois 0 à 24

On obtient alors ce graphique :


Et en chiffres on a

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| Mois( 1) - Mois( 0) =  0.405 % des clients | tot_pc :   0.405 | écarts types : 0.21 |
| Mois( 2) - Mois( 1) =  0.720 % des clients | tot_pc :   1.125 | écarts types : 0.42 |
| Mois( 3) - Mois( 2) =  0.672 % des clients | tot_pc :   1.797 | écarts types : 0.62 |
| Mois( 4) - Mois( 3) =  0.618 % des clients | tot_pc :   2.415 | écarts types : 0.83 |
| Mois( 5) - Mois( 4) =  0.762 % des clients | tot_pc :   3.177 | écarts types : 1.04 |
| Mois( 6) - Mois( 5) =  1.193 % des clients | tot_pc :   4.370 | écarts types : 1.25 |
| Mois( 7) - Mois( 6) =  1.912 % des clients | tot_pc :   6.283 | écarts types : 1.46 |
| Mois( 8) - Mois( 7) =  2.862 % des clients | tot_pc :   9.144 | écarts types : 1.67 |

| Mois( 9) - Mois( 8) =  3.948 % des clients | tot_pc :  13.093 | écarts types : 1.88 |
| Mois(10) - Mois( 9) =  5.064 % des clients | tot_pc :  18.157 | écarts types : 2.08 |
| Mois(11) - Mois(10) =  6.103 % des clients | tot_pc :  24.260 | écarts types : 2.29 |
| Mois(12) - Mois(11) =  6.972 % des clients | tot_pc :  31.232 | écarts types : 2.50 |
| Mois(13) - Mois(12) =  7.602 % des clients | tot_pc :  38.833 | écarts types : 2.71 |
| Mois(14) - Mois(13) =  7.952 % des clients | tot_pc :  46.786 | écarts types : 2.92 |
| Mois(15) - Mois(14) =  8.015 % des clients | tot_pc :  54.801 | écarts types : 3.12 |
| Mois(16) - Mois(15) =  7.810 % des clients | tot_pc :  62.611 | écarts types : 3.33 |

| Mois(17) - Mois(16) =  7.381 % des clients | tot_pc :  69.992 | écarts types : 3.54 |
| Mois(18) - Mois(17) =  6.788 % des clients | tot_pc :  76.780 | écarts types : 3.75 |
| Mois(19) - Mois(18) =  6.091 % des clients | tot_pc :  82.871 | écarts types : 3.96 |
| Mois(20) - Mois(19) =  5.338 % des clients | tot_pc :  88.209 | écarts types : 4.17 |
| Mois(21) - Mois(20) =  4.543 % des clients | tot_pc :  92.752 | écarts types : 4.38 |
| Mois(22) - Mois(21) =  3.662 % des clients | tot_pc :  96.414 | écarts types : 4.58 |
| Mois(23) - Mois(22) =  2.568 % des clients | tot_pc :  98.983 | écarts types : 4.79 |
| Mois(24) - Mois(23) =  1.017 % des clients | tot_pc : 100.000 | écarts types : 5.00 |

Total des pourcentages = 100.0000%

Le code python

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import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Définition de la variable symbolique
x, duree = sp.symbols('x duree')

# Ancienne fonction P(x)
P_x = -61*x**7/1440 - 83*x**6/720 + 97*x**5/180 + 101*x**4/144 - 7279*x**3/1440 - 211*x**2/360 + 4627*x/120 + 50

# Transformation de variable
a = (2 - (-3)) / (24 - 0)
b = -3
x_to_duree = a * duree + b

# Nouvelle fonction P(duree)
P_duree = P_x.subs(x, x_to_duree)

# Définition de la fonction P(x)
def P(x):
    return -61*x**7/1440 - 83*x**6/720 + 97*x**5/180 + 101*x**4/144 - 7279*x**3/1440 - 211*x**2/360 + 4627*x/120 + 50

# Calcul de P(n) - P(n-1)
def difference_P(n):
    P_n = P_duree.subs(duree, n)
    P_n_minus_1 = P_duree.subs(duree, n-1)
    return P_n - P_n_minus_1

tot_pc = 0
batonnnets = []
print(f"\n")
# Affichage de P(n) - P(n-1) pour n de 1 à 24
for n in range(1, 25):
    dpn = difference_P(n)
    batonnnets.append(dpn)
    tot_pc += dpn
    print(f"| Mois({n:>2}) - Mois({n-1:>2}) = {dpn:>6.3f} % des clients | tot_pc : {tot_pc:>7.3f} | écarts types : {n * 5/24:>2.2f} |")
    if n % 8 == 0: print()

print(f"\nTotal des pourcentages = {tot_pc}\n\n")

# Tracé de la nouvelle fonction
duree_values = np.linspace(0, 24, 100)
P_values_duree = [P_duree.subs(duree, val) for val in duree_values]

# Plot de la fonction P en fonction de la durée
plt.plot(duree_values, P_values_duree, label='Fonction de répartion')

# Plot des bâtonnets
plt.bar(range(1, 25), batonnnets, label='% de clients par mois')

plt.xlabel('Durée en mois')
plt.ylabel('P en %')
plt.title('Graphiques en fonction de la durée en mois')
# plt.yscale("log")
plt.grid(True)
plt.xticks(np.arange(0, 25, step=2))
plt.legend()
plt.show()

[gg0]

La courbe du message #1 n'est pas définie, il n'y a pas d'unités sur l'axe des x, pire, il n'y a aucune raison pour que cet axe soit linéaire.
Bon, tu as défini un jeu pour toi, tu en as défini les règles, c'est toi qui décides de les appliquer (ou pas), alors continue à jouer tout seul, mais l'OP a eu ce qu'il voulait depuis un moment.

Cordialement.

[Biname]

Salut,
L'énoncé du msg #1 donne les caractéristiques d'une fonction de répartition, tout le monde ici, dont moi, à essayer de trouver une "densité de probabilité " proche. La densité de probabilité est la dérivée de la fonction de répartition. Il fallait donc écrire la fonction de répartition et ensuite la dériver, l'aspect étrange de "ma" densité de probabilité est dû au caractère étrange des données.

Le produit a une durée de vie limitée à 24 mois, il faut donc que la fonction de répartition soit égale à 0% des clients le premier jour du premier mois, et soit égale à 100% des clients le dernier jour du dernier mois. Ici le temps est coupé en 5 intervalles égaux :

t=0 ==> fr = 0%
t=1 ==> fr = 3%
t=2 ==> fr = 3% + 13% = 16%
t=3 ==> fr = 16% + 34% = 50%
t=4 ==> fr = 50% + 34% = 84%
t=5 ==> fr = 84% + 16% = 100%

Idéalement, la fonction de répartition doit être tangente à y=0 en x = 0 et à y=100 en x = 5

Ma solution répond donc parfaitement à l'énoncé , on peut utiliser d'autres régressions que la polynomiale.

Les pourcentages donnés correspondent aux surfaces entre deux écarts-types successifs pour la loi normale, d'où sa présence "au dessus".

Notre énoncé va de -3 ET à +2 ET en "bourrant" ce qui manque dans l'écart type le plus proche.

[Biname]

Il faudrait réécrire l'énoncé pour supprimer les "bosses" de la densité de probabilité.
x=0, y = 0%
x=3, y = 50%
x=5, y = 100%
Avec
5 correspond à 24 mois