Approximation de pi

[Malefix]

Bonjour à tous,

Je voudrais démontrer l'égalité suivante :

Peut-on passer par les séries de Maclaurin ?

Merci à vous.
-----

[gg0]

Bonjour.

Dans une démonstration, tu peux utiliser tout les résultats des maths dont tu as besoin. Tu as une preuve qui utilise des séries de Maclaurin ?

Cordialement.

[Malefix]

En fait je penche plus sur le produit de Wallis.
Voici une tentative de démonstration :








On reconnait le produit de Wallis qui converge vers

Le produit de Wallis est défini comme suit :



D'où :

[gg0]

Bonjour.

Ta tentative de démonstration est incompréhensible, et même absurde ("On reconnait le produit de Wallis ...") alors que ça n'est pas le même produit !!
D'ailleurs, les écritures avec des "..." ne sont pas des démonstrations, si on n'explique pas ce qu'il y a dans les "...".

Par contre, une utilisation sérieuse des sommes devrait fonctionner, en utilisant 4k²-1 = ( ...)*(...). Attention, il va falloir utiliser une définition en termes de du produit de Wallis

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

À noter : C'est une très mauvaise méthode d'approximation ! Même avec du calcul exact, le produit des 100 premiers termes donne une erreur d'environ 0,004. Si en plus, on fait du calcul approché intermédiaire, rien n'assure qu'il y ait un résultat utile.
Alors qu'avec la formule de Machin, quelques termes suffisent à avoir 5 ou 6 chiffres significatifs exacts.

[Malefix]

Effectivement tu as raison, je n'ai pas reconnu le bon produit.
Je ne connaissais pas la formule de Machin.

[Malefix]

Sinon j'ai aussi une autre approximation de basée sur les séries de Maclaurin (j'avais confondu avec l'autre formule).



Est-ce une bonne idée ?

[gg0]

Oui, c'est bien meilleur, avec les douze premiers termes on obtient déjà 8 décimales correctes.
Mais il y a mieux, va voir sur Wikipédia "approximation de Pi".

[Malefix]

Ma formule est-elle déjà connue ? Peut-on la démontrer facilement ?

Je vais voir ton lien merci.

[pm42]

Mais il y a mieux, va voir sur Wikipédia "approximation de Pi".

En suivant le lien, je suis tombé sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Chudnovski qui est intéressant et dont une implémentation en Python est donnée. Je l'ai fait tourner et c'est très impressionnant de rapidité.

Cela vaut aussi la peine de lire https://fr.wikipedia.org/wiki/David_...ory_Chudnovsky, l'histoire des auteurs de la formule qui n'est pas banale (ou tristement banale suivant le point de vue).

Merci à gg0.

[gg0]

Malefix :

"Ma formule est-elle déjà connue ?"
Probablement, très probablement, il y a eu tellement de recherches sur les approximations de Pi qu'elle est sans doute apparue plusieurs fois.

"Peut-on la démontrer facilement ?" Ben ... tu l'as démontrée, non ? Donc on peut la démontrer facilement (tu l'as fait). Bizarre question !

[Malefix]

En réalité je sais juste qu'il faut utiliser les séries de Maclaurin mais je n'ai pas la démonstration.

[Malefix]

Ici une autre formulation reliant la fonction gamma à pi :



Est-elle intéressante ?

[gg0]

Pas pour calculer . D'ailleurs, il est bizarre que le du premier membre ne soit pas factorisé ...
Bon, tu nous sors des formules trouvées ici ou là. Quel intérêt pour toi ?

[Malefix]

Je suis passionné par la théorie des nombres et la découverte de nouvelles formules. Mais de base j'ai une formation en doctorat de biologie.
Donc la dernière formule est-elle intéressante (celle avec la fonction gamma) ?

[gg0]

Ça dépend pour qui ...

Pi, ça n'est pas vraiment le cœur de la théorie des nombres ...

[Malefix]

Par exemple pour les spécialistes de la théorie des nombres ou pour ceux qui s'y intéressent, ma formule est intéressante ?

[gg0]

Ben ... là où tu l'as trouvée, ça intéressait au moins quelqu'un ... mais la copier ici sert à quoi ?

[Malefix]

J'ai utilisé un peu de mon intuition + l'intelligence artificielle.
J'ai trouvé sur wolframalpha que l'égalité était correcte et j'ai été intéressé par le fait que la formule relie la fonction Gamma à pi.

Je ne sais pas si c'est intéressant donc je demande ici.

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas ... Si tu utilises de l'IA, tu copies indirectement ce qu'on peut trouver sur Internet, vrai ou faux. Donc tu n'as aucune certitude que ce que tu écris est vrai. Ça sert à quoi ?

Bon j'arrête là, on est sur un forum de maths, pas de divination.

[Malefix]

Comme dit précédemment j'utilise wolframalpha pour voir si l'égalité est vraie et c'est le cas ici.
Je n'ai rien trouvé de ressemblant dans la littérature.

[Liet Kynes]

Comme dit précédemment j'utilise wolframalpha pour voir si l'égalité est vraie et c'est le cas ici.
Je n'ai rien trouvé de ressemblant dans la littérature.

Explique peut-être plus en détails comment tu es arrivé à cette formule et pourquoi.

[SULREN]

Bonjour,
La discussion étant au point mort, je me permets des commentaires qui débouchent sur une question, et tout en restant « en-Pi » et pas « im-pie » (hors charte).
Je n’ai jamais eu besoin de l’approximation de Pi par les séries indiquées dans cette discussion, mais par curiosité j’ai lu tous les posts avec intérêt, ainsi que les liens qui y étaient mentionnés.

COMMENTAIRES :
Dans les temps anciens que j’ai connus, on faisait ses calculs avec papier crayon ou sur une machine à calculer à manivelle.
- Quand on avait besoin de Pi on rentrait ses premiers chiffres significatifs.
Pi étant un nombre, il suffisait d’avoir toujours ses premiers chiffres significatifs en mémoire : 3,14 pour les uns, 3,14149 pour les autres et les plus pinailleurs commençaient par écrire la phrase que leur instituteur leur avait enseignée :
Que(3) j(1)’aime(4) à(1) faire(5) apprendre(9) ce(2) nombre(6) utile(5) aux(3) sages(5)
Soit : 3,1415926535
- Pour les fonctions telles que Sinus, Cosinus, Log,… il fallait sortir la table des valeurs, ou son carnet sur lequel on avait noté les premiers termes de leur développement en série.
Puis sont arrivés les calculatrices électroniques, tableurs, langages de programmation… et il a alors suffi de taper : les lettres Pi pour que ces outils retrouvent dans leur mémoire 15 chiffres significatifs de Pi, ou de taper Sin(x), Cos(x), Log(x),….pour qu’ils déroulent un bout de développement en série trouvant la valeur correspondant à x.

QUESTION :
Les formules d’approximation de Pi qui ont été indiquées dans la présente discussion :
- Ont-elles été cherchées seulement pour calculer les décimales de Pi, avec une vitesse de convergence plus ou moins rapide ? (Un tel énorme effort de recherche resterait néanmoins légitime, et louable en soi, étant donné le caractère prestigieux de Pi, de par son Histoire).
- Ou bien sont-elles aussi nécessaires dans certains raisonnements, dans lesquels il est préférable d’impliquer Pi par son développement en produit infini (par exemple) plutôt que par sa valeur numérique ? Si oui, quels exemples de tels raisonnements?
Merci d’avance pour votre réponse.

NB, pour ceux qui s’intéressent aux machines :
Dans les machines purement mécaniques qui ont besoin pour certaines de leurs fonctionnalités d’utiliser le nombre Pi, il n’est pas possible de le leur indiquer sous la forme décimale, mais seulement sous la forme d’une approximation rationnelle.
Exemple : le tour d’usinage purement mécanique (pas d'axes en commande numérique).
Il a dans sa boîte de vitesses et montés sur sa « lyre », des trains d’engrenages qui permettent de réaliser, entres autres choses, des usinages en forme d’hélice : le filetage, de type métrique ou de type « imperial » (dont les pas sont exprimés en pouces).

Mais il arrive qu’on ait besoin de faire sur ce tour du filetage dit « module », dont les pas sont des multiples des pas métriques dans le rapport Pi.
On introduit alors Pi dans le train d’engrenages sous la forme de deux roues dentées :
- Un pignon de 22 dents et un de 7 dents, car 22/7= 3.142857… (les décimales en rouges sont fausses)
- Ou un pignon de 121 dents et un de 77 dents, car (121/77) *2 = 3,142857...

On se contente de cette fraction très simple parce que la précision d’usinage obtenue est tout à fait suffisante pour les Mécaniciens.
Sinon on pourrait aller vers:
245/78 = 3,14102….
333/106 = 3,141509….
355/113 = 3,14159292…. (connue dès le Veme siècle par les Chinois)

Ou, mais « juste pour s’amuser » car inutile en pratique :
A 4 roues dentées :
339/257 * 312/131 = 3,14159265749….
A 6 roues dentées :
491/347 * 393/335 * 229/121 = 3,141592653589650….
A 8 roues dentées :
461/367 * 302/171 * 214/159 * 121/115 = 3,141592653589790….