Résolution EDP de la chaleur

[Bertrand Anciaux]

Bonjour à tous,

Je suis amené à résoudre analytiquement le problème aux conditions limites suivant : l'équation de la chaleur en 1D dans un solide qui s'étend de x = 0 à x = L et qui se trouve dans de l'air à température T_0.
<=> dT/dt = alpha*d²T/dx² où alpha est la diffusivité thermique.
Mes conditions limites sont les suivantes : 1) -k*dT/dx =q_in en x=0 ; où k est la conductivité thermique et q_in un flux de chaleur (constant) entrant dans le solide
2)-k*dT/dx=h*T(x=L, t) en x = L ; où h est le coéfficient de convection (constant) entre le solide et l'air
3) T(x, t = 0) = 0
N.B : Ici T = T' - T_0 où T' est la température de surface du solide en x = L (ce choix a pour but de simplifier les calculs)

J'ai pensé à la méthode de superposition pour résoudre ce problème. Ainsi je peux exprimer T(x,t) = T_stationnaire (x) + T*(x,t).

Pour T_stationnaire (x) on va essayer de trouver une solution stationnaire à l'équation de la chaleur qui respecte les conditions limites suivantes :
-k*dT_stationnaire/dx =q_in en x=0
-k*dT_stationnaire/dx=h*T_stationnaire(x=L) en x=L
Vous pouvez trouver ma résolution dans la pièce jointe "solution_stationnaire".

En vertu du principe de superposition, pour trouver T*(x,t) je dois trouver une solution non-stationnaire à l'équation de la chaleur qui respecte les conditions limites suivantes :

-k * dT*/dx = 0 en x= 0
-k * dT*/dx = 0 en x = L
T*(x, t=0) = 0

Or, comme vos pouvez l'observer dans ma résolution dans les pièces jointes "transitoire_1" et "transitoire_2", la solution transitoire T*(x,t) que l'on trouve avec ces condition limites est T*(x,t) = 0. Cela semble tout assez logique au vu des conditions du sous problème pour trouver T*(x,t).

Selon vous est-ce normal que le champ de température dans problème initial comme il est posé (à savoir un flux de chaleur entrant constant appliqué à la paroi d'un solide et un flux convectif sortant de l'autre coté de la paroi) n'ait pas de régime transitoire et soit entièrement stationnaire avec une solution qui ne dépend que de x. Ou alors ma résolution de cette EDP n'est pas correcte ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide !
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[ThM55]

Il me semble que la condition T(x,t=0) = 0 n'est pas réalisée si vous posez T*(x,t=0) car elle n'est évidemment pas vraie pour la solution stationnaire. On a T(x,t=0)=T_stat(x,t=0)+T*(x,t= 0)=T_stat(x,t=0) différent de 0.

[Bertrand Anciaux]

Vous avez raison j'ai donc posé T(x,t=0) = T_stat(x) + T*(x,t=0) = 0. Mais je suis confronté au même problème... Avez-vous une idée de comment faire d'autre pour résoudre ce problème ?

[gts2]

Bonjour,

La condition initiale s'applique à la solution générale (somme).
Les conditions aux limites s'applique à chaque terme et permettent de déterminer λ.
On écrit ensuite la somme, et la condition initiale détermine an et bn.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bertrand Anciaux]

Bonjour, il me semble que c'est ce que je fais. Mais est-il correct de dire que je peux décomposer mon problème en une somme d'un terme stationnaire(mode lambda = 0) qui respecte les conditions limites non-homogènes et d'un terme non-stationnaire(mode-lambda²) qui lui respecte des conditions limites homogènes ?

[gts2]

Bonjour, il me semble que c'est ce que je fais.

C'est exact, j'avais lu trop vite (vous notez de la même manière, T*(x,t), un élément de la somme et la somme).
Pourriez-vous donner le calcul de cn avec la CIT(x,t=0)=T_stat(x,t=0)+T*(x, t= 0)=T_stat(x,t=0) ?
Il n'y aucune raison de trouver cn=0.

[Bertrand Anciaux]

De fait, désolé pour la confusion. Voilà la nouvelle version. J'ai donc dans un premier temps calculé ma solution stationnaire avec mes conditions limites (non homogènes en x = 0 et x = L). Ensuite j'ai trouvé ma solution non-stationnaire (mode -lambda²) avec les conditions limites homogènes. Enfin il faut que j'applique la condition initiale T(x,t=0) = 0 et comme vous l'avez dit je dois l'appliquer à ma solution générale donc à T(x,t) = T_stat(x) + T*(x,t). Et là je ne vois justement pas comment calculer la constante b'_n qui m'est encore inconnue.

[gts2]

Avec , un calcul de série de Fourier après périodisation (avec prise en compte de la parité) de Ax+B vous donne bn, non ?

Remarque : et conduit à puis et non 0. Si c'est bien cela, çà devient compliqué ...

[Bertrand Anciaux]

Oui il s'agit bien de cela. Voici ce que j'obtiens en me corrigeant. Avez-vous une idée pour trouver les lambda_n ?

[gts2]

Donc on tombe sur qqch de compliqué.
Niveau 1, à part une résolution numérique, je ne connais pas de méthode pour trouver λ.
Niveau 2, une fois les λ trouvés, ce ne sont plus des multiples, donc on perd Fourier pour trouver les cn.
Cela sort de mes compétences.

Solution 1 : un mathématicien passant par là a la solution.
Solution 2 : basculer la question sur le forum de physique sur lequel il y a des spécialistes de thermique.

[Bertrand Anciaux]

Merci pour votre aide. Je vais opter pour la solution2.

[Bertrand Anciaux]

Bonjour, je me permets de revenir vers vous car je suis parvenu à trouver des lambda_n = n*pi/L. J'ai donc pu utiliser Fourier pour trouver un coefficient b_n qui est tel que la condition T(x,t=0) est respectée. Cependant une fois le coefficient trouvé, quand je vérifie la valeur de la fonction T(x,t=0) je n'obtiens pas 0. Mais lorsque je divise par q_in j'ai une valeur qui oscille proche autour de 0. J'ai donc l'impression d''avoir un facteur q_in en trop... Voyez vous une erreur dans ma résolution pour trouver b_n ?

[gts2]

Dans votre dernière expression on peut mettre qin en facteur s'écrit T(x,t)=qin x (f(x,t)
Si en divisant par qin cela oscille autour de zéro (donc f(x,t)), il devrait en être de même de T(x,t).

Ceci étant, il manque un terme dans votre série de Fourier : le terme n=0.

[Bertrand Anciaux]

Le terme n = 0 donne comme résultat 0 car (cos (0) -1) - 1 = 0. Je crains que si je divise mon champ de température par q_in mes conditions limites ne soient plus respectées... De plus, comment se fait-il que le procédé que j'utilise me donne le bon b_n à un facteur prêt ?

[gg0]

(cos (0) -1) - 1 = 0 = (1-1)-1 = 0-1 = -1

Cordialement.

[gts2]

Je crains que si je divise mon champ de température par q_in mes conditions limites ne soient plus respectées...

Il n'y a pas de raison de diviser par q_in (physiquement parlant, déjà cela ne sera plus une température...)

De plus, comment se fait-il que le procédé que j'utilise me donne le bon b_n à un facteur prêt ?

Qu'entendez-vous par là ?