Résolution EDP de la chaleur

[Bertrand Anciaux]

Bonjour à tous,

Je suis amené à résoudre analytiquement le problème aux conditions limites suivant : l'équation de la chaleur en 1D dans un solide qui s'étend de x = 0 à x = L et qui se trouve dans de l'air à température T_0.
<=> dT/dt = alpha*d²T/dx² où alpha est la diffusivité thermique.
Mes conditions limites sont les suivantes : 1) -k*dT/dx =q_in en x=0 ; où k est la conductivité thermique et q_in un flux de chaleur (constant) entrant dans le solide
2)-k*dT/dx=h*T(x=L, t) en x = L ; où h est le coéfficient de convection (constant) entre le solide et l'air
3) T(x, t = 0) = 0
N.B : Ici T = T' - T_0 où T' est la température de surface du solide en x = L (ce choix a pour but de simplifier les calculs)

J'ai pensé à la méthode de superposition pour résoudre ce problème. Ainsi je peux exprimer T(x,t) = T_stationnaire (x) + T*(x,t).

Pour T_stationnaire (x) on va essayer de trouver une solution stationnaire à l'équation de la chaleur qui respecte les conditions limites suivantes :
-k*dT_stationnaire/dx =q_in en x=0
-k*dT_stationnaire/dx=h*T_stationnaire(x=L) en x=L
Vous pouvez trouver ma résolution dans la pièce jointe "solution_stationnaire".

En vertu du principe de superposition, pour trouver T*(x,t) je dois trouver une solution non-stationnaire à l'équation de la chaleur qui respecte les conditions limites suivantes :

-k * dT*/dx = 0 en x= 0
-k * dT*/dx = 0 en x = L
T*(x, t=0) = 0

Or, comme vos pouvez l'observer dans ma résolution dans les pièces jointes "transitoire_1" et "transitoire_2", la solution transitoire T*(x,t) que l'on trouve avec ces condition limites est T*(x,t) = 0. Cela semble tout assez logique au vu des conditions du sous problème pour trouver T*(x,t).

Selon vous est-ce normal que le champ de température dans problème initial comme il est posé (à savoir un flux de chaleur entrant constant appliqué à la paroi d'un solide et un flux convectif sortant de l'autre coté de la paroi) n'ait pas de régime transitoire et soit entièrement stationnaire avec une solution qui ne dépend que de x. Ou alors ma résolution de cette EDP n'est pas correcte ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide !