Démonstration déterminant d'un produit de matrices

[Billy 1816]

Bonjour,
je n'ai pas trop compris la démonstration proposée sur wikiversité que je réecris simplement ici :

Théorème :
(1) Le déterminant est n linéaire
(2) Si deux colonnes sont égales le déterminant est nul
(3)

Démonstration de det(AB)=det(A)det(B) :
Soit
Soit
f vérifie les propriétés 1 et 2 du théorème donc est "proportionnelle" à det avec comme coefficient de proportionnalité .

Donc on a bien f(B)=det(AB)=det(A)det(B).
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L'autre sens de l'implication est je crois évident : si f est propotionnelle au det, alors elle vérifie (1) et (2)
Mais le sens sur lequel s'appuie cet démonstration n'est pas explicité : toute application qui vérifie (1) et (2) est proportionnelle a det. Et je ne vois pas trop comment on pourrait montrer cela.

Quelqu'un aurait une idée ou alors un contre exemple ?
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[GBZM]

Bonjour,

Tu as oublié le mot important dans l'énoncé : le déterminant est l'UNIQUE application multilinéaire alternée sur les colonnes qui vaut 1 pour la matrice identité.
Comme est multilinéaire alternée et vaut si est l'identité, c'est fois le déterminant d'après l'unicité.

[Billy 1816]

Merci pour votre réponse, c'est vrai j'ai omis de le mentionner mais je n'ai pas compris comment cet argument permet de justifier que f est proportionnelle a det.

[GBZM]

Si , que peux-tu dire de

[A voir en vidéo sur Futura]

[Billy 1816]

Cette application vérifie les 3 points du théorème donc c'est le déterminant :

d'où


Merci !

[GBZM]

Avec plaisir.