demonstration de l'unicité du determinant

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

det M=sigma avec f app à F_n des m_f(1),1...m_f(n),n x det(E_f(1)...E_f(n))

où F_n est l'ensemble des applications de {1,2,...,n} dans lui meme

une des proprietés des determinants prouve que si 2 des indices sont egaux alors les colonnes sont egales et :

det( E_f(1),...,E_f(n))=0

or il existe i et j distincts tel que f(i)=f(j) ssi l'application f n'est pas une bijection.

Il en résulte que seuls vont rester dans le deuxième membre de l'égalité les facteurs det(E_f(1),...E_f(n)) pour lesquelles l'application

f:k--->i_k est une bijection donc un element g appartient à S_n


Donc, en fait, on somme sur les permutations de {1,2,...,n} ce qui peut s'ecrire


det M= sigma avec g app à S_n des m_g(1),1 m_g(2),2...m_g(n),n
x det(E_g(1),E_g(2),...,E_g(n))

...

je ne comprends pas à partir de :"or il existe i et j distincts tel que f(i)=f(j)..." jusqu'à "f:k--->i_k est une bijection donc un element g appartient à S_n".


je ne comprends pas bien non plus ce qu'est l'ensemble F_n.


pouvez vous m'aider svp ?

merci par avance.
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[KerLannais]

Salut

il faut comprendre:

or ((il existe i et j distincts tels que f(i)=f(j)) ssi (l'application f n'est pas une application bijective))

En effet, comme f est une application de {1,...,n} dans lui même, elle est bijective si et seulement si elle est injective.

preuve:
il est clair que si f est bijective elle est injective, il suffit donc de montrer que si f est injective alors elle est bijective. La définition de l'injectivité dit que pour chacune des n valeurs de l'ensemble {1,...,n} f associe une valeur distincte, soit au moins n valeurs différentes, ce qui épuise l'ensemble {1,...,n}. La fonction f est donc également surjective et donc bijective.

ensuite il faut comprendre

f:k--->i_k est une bijection donc un element g appartenant à S_n

et non pas appartient

ou encore on peut dire simplement que f appartient à S_n

L'ensemble F_n est l'ensemble des applications de {1,2,...,n} dans lui même

il est difficile de faire plus simple comme définition, si tu sait ce qu'est l'ensemble {1,...,n}, si tu sais ce qu'est une application alors tu sais ce qu'est une application de {1,...,n} dans lui même (c-à-d de {1,...,n} dans {1,...,n}) et tu sais alors ce qu'est l'ensemble des applications de {1,...,n} dans lui même.

[invite69d45bb4]

mais F_n c'est quoi par rapport a S_n c'est le groupe symetrique?


et je ne comprends pas non plus ceci:

or ((il existe i et j distincts tels que f(i)=f(j)) ssi (l'application f n'est pas une application bijective))

il faut que l'application soit bijective pour utiliser les permutations , non ?

[invite69d45bb4]

et pourquoi "appartenant" et pas "appartient" c'est la mleme chose pour moi.


quelqu'un peut il m'expliquer plus clairement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Je vais t'expliquer le calcul du déterminant sur un exemple pour ,
Soit un espace vectoriel de dimension et une base de cet espace. Soit la matrice d'un endomorphisme dans la base calculons . On note, pour et des indices entiers compris entre et , le coefficient de la ième ligne et de la jème colonne de la matrice . On note également la jième colonne de . Il s'agit du vecteur:

La matrice peut alors s'écrire par blocs

Par définition du déterminant d'une matrice

Le déterminant d'une matrice est donc par définition le déterminant de la famille de ses vecteurs colonnes : . Le déterminant d'une famille de vecteurs en dimension 2 est une application qui prend 2 variables vecteurs et renvoie un scalaire. Elle est bilinéaire, c-à-d qu'elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables:


pour tout vecteurs et scalaires. Enfin elle est alternée, au sens ou dès que deux de ses arguments sont égaux elle est nulle:

pour tout vecteur.
A partir de là on peut calculer



en utilisant la linéarité par rapport à la première variable.


en utilisant la linéarité par rapport à la seconde variable
Il y a 4 applications possibles de dans lui même:




et donc

parmis ces applications seules deux sont bijectives : et car on a et . Les deux autres et ne sont pas bijectives car elles ne sont pas injectives :


et elles ne sont pas surjectives non plus, n'a pas d'antécédent par et n'a pas d'antécédent par . Le sens de la phrase
or ((il existe i et j distincts tels que f(i)=f(j)) ssi (l'application f n'est pas une application bijective))
est qu'il est impossible de construire une application d'un ensemble fini dans lui même qui soit pas injective mais surjective (si tu ne me crois pas je te met au défi de le faire, sachant que j'ai démontré que c'était impossible dans ma réponse précédente). On a alors

J'espère que maintenant tu vois un peu mieux ce que sont les ensembles et .
Il est facile de voir que:




ainsi on peut écrire

ou encore

Le passage que tu ne comprends pas, dit simplement que cette somme peut être simplifiée, car puisque le déterminant est alterné certain termes sont nuls. Ici il s'agit de


il s'agit donc des termes

avec . La phrase que tu ne comprend pas dit simplement que si une fonction vérifie alors elle n'est pas bijective et réciproquement. Autrement dit, les termes qui ne sont pas nuls correspondent aux qui appartiennent à . On a



Si avec ça tu n'arrives toujours pas à comprendre j'abandonne, essai de refaire ce que j'ai fai avec ça te prendra un peu de temps mais il faut bien faire des efforts pour comprendre

[invite69d45bb4]

merci baucoup là c bcp plus clair

[invitea83062ce]

Ah cest une bien belle démonstration même si celle de base est pas mal non plus