Résolution analytique eq. chaleur ?

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

je travail actuellement sur un problème de diffusion en régime stationnaire. J'ai résolu le problème dans un

cas sphérique mais j'aimerai bien le faire dans le cas d'un cube (où un cube avec les coin arrondis) mais je ne sais pas

si c'est possible de manière analytique ?

Premier cas:

J'ai une bille qui a une température de surface constante et elle est dans un milieu

où à l'infini on a une température L'équation de diffusion s'écrit:



et si je prendre le laplacien en coordonnées sphériques et que j'intègre je tombe sur

cette équation pour l'évolution de la chaleur entre mon interface et la température à l'infini:



=pour résoudre ce problème pas de problème car il n'y a qu'une variable donc ç'est facile

Deuxième cas

à présent je voudrais résoudre la même équation mais ma géométrie n'est plus une sphère mais un cube

et là je bloque vraiment et je ne sais pas si c'est possible de résoudre ceci analytiquement

En fait j'aimerai résoudre ceci dans le cas le cas où la géométrie est soit un cube parfait soit un cube avec les coin arrondi

(l'arrondi est défini par le rapport en la diagonale d'un coin par rapport à la longueur d'un côté).

en fait je ne sais pas du tout si c'est faisable ce type de calcul ... ?

et c'est pour cela que j'aimerai avoir votre avis.

Si vous pensez que c'est possible, pouvez vous me donner des éléments de résolution pour que j'arrive à démarrer ?

je vous remercie une fois de plus pour votre aide
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[invite945d3fbd]

Bonjour,
À première vue, je ne vois pas pourquoi tu ne prendrais pas le laplacien en coordonnées cartésiennes si tu considères le cas d'un cube parfait.
Tu es intéressé à résoudre l'équation de diffusion dans quelle région exactement? (j'imagine en dehors du cube et non a l'intérieur?).
Quelle sont les conditions aux limites? Je sais qu'à l'infini la température est , mais la surface du cube est elle aussi à une température constante?
Il me semble que si c'est le cas, la solution doit être analytique et doit avoir une certaine symmétrie puisque le cube possède des symmétries.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Ce n'est pas mon domaine.
Mais entre la symétrie d'une sphère et celle d'un cube, il y a des énormes différences.
Par exemple, vous pouvez résoudre en deux lignes le champ électrique d'une distribution sphérique de charge. Par contre vous ne pouvez pas le faire analytiquement pour une distribution de charge en forme de cube.
Je parie un café que la situation est la même pour le cas thermique.
Au revoir.

[invite9c7554e3]

merci pour vos réponses,

- en fait il m'a semblait avoir vu dans un bouquin une résolution dans le cas où on a une pavé (2D)
et du coup je me suis dis que ça devait être faisable en 3D pour un cube mais sans grande conviction,
d'où mon message pour savoir si vous avez plus d'infos que moi.

- pour la température, elle est constante à l'infini et constante à la surface du cube et je dois calculer ce
qui se passe entre le cube et l'infini. Pour la sphère pas de blem mais pour le cube je ne vois pas trop...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiluc40]

Bonjour,

Le cube, pas sûr qu'il y ait une solution analytique. Est-ce que ça ne serait pas pour ce genre de problèmes que Fourier a développé ses séries ?

[invite9c7554e3]

je ne sais pas trop.... (j'ai abandonné pour le moment mais je m'y repencherai surement dessus )